CHAPITRE PREMIER

Notions préliminaires.

1. A chaque pas que l'on fait daos les sciences ou dans les arts, on éprouve le besoin de transmettre aux autres hommes la connaissance exacte des formes qu'affectent les corps, soit pour manifester les rapports géométriques que l'on y a découverts, soit pour guider l'artiste chargé de reproduire ces objets dans des dimensions assignées d'avance. Or, de tous les moyens, le plus efficace et quelquefois le seul capable d'atteindre complètement ce but, c'est la description graphique des corps ; et tel est aussi le premier objet de la Géométrie descriptive, dont les méthodes générales deviendront ensuite, par leur fécondité, des moyens de recherche propres à découvrir de nouvelles propriétés de l'étendue, et fourniront d'ailleurs les procédés nécessaires pour résoudre les divers problèmes de perspective, de stéréotomie, de fortification, etc.

2. Mais ici se présentent deux genres de difficultés: en premier lieu, les corps offrent toujours trois dimensions, et cependant on sent bien que des constructions à effectuer dans l'espace seraient fort incommodes, sinon impraticables ; par conséquent il faut trouver des méthodes qui permettent de rap-

porter tous les points de l'espace à un seul et même plan, ou du moins qui ramènent toutes les opérations graphiques à s'exécuter dans ce plan unique.

5. En second lieu, ces méthodes devant servir non à établir des théories purement spéculatives, mais bien à effectuer des opérations réelles, il faut qu elles offrent une précision complète dans la manière d'exprimer les données et les résultats graphiques de chaque question; et c'est en cela surtout qu'elles différeront essentiellement des procédés employés dans la géométrie ordinaire, du moins quand on considère les trois dimensions de l'espace. Là, en effet , les figures n'étant destinées qu'à guider l'esprit dans la suite des raisonnements nécessaires pour démontrer la vérité d'un théorème, ne sont tracées que d'une manière vague, ou d'après certaines conventions tacites qui renferment toujours beaucoup d'arbitraire. Pour s'en convaincre, il suffira de se rappeler comment on résout le problème de la plus courte distance de deux droites non situées dans le même plan; ou bien encore celui où il s'agit de trouver le centre et le rayon d'une sphère qui doit passer par quatre points donnés. On verra aisément que, dans ces questions, la géométrie ordinaire indique bien la série d'opérations qu'il faudrait exécuter pour arriver à la solution du problème^; mais elle ne donne pas les moyens d'effectuer réellement ces constructions, et d'obtenir un résultat déterminé pour la grandeur et la position de la plus courte distance, non plus que pour la longueur du rayon et la position du c'èntre de la sphère (voyezn'^^ 49 et 500). Il est donc indispensable d'adopter, en Géométrie descriptive, un mode de construction qui ne laisse rien d'arbitraire dans la représentation des données et des résultats, et qui permette aussi d'effectuer toutes les opérations graphiques sur un seul et même plan : or, ces deux avantages nous seront fournis par la Méthode des projections dont nous allons exposer les principes. FiG. I. 4. Si d'un point a situé dans l'espace, on abaisse sur un plan fixe VXY une perpendiculaire aA, le pied A de cette droite est dit la projection du point a sur le plan en question. De même, en abaissant des- perpendiculaires de tous les points de la droite abd..., la suite des points A, B, D,... forme ce qu'on appelle la projection de la droite abd sur le plan fixe; et cette projection est nécessairement rectiligne, puisque toutes ces perpendiculaires étant évidemment contenues dans le plan mené par l'une d'entre elles «A et par la droite ad, c'est l'intersection du plan projetant Aad avec le plan de projection VXY, qui fournit la projection ABD.

Généralement, la projection d'une courbe quelconque mnp est la suite des pieds des perpendiculaires mM, nN, pP,.... abaissées de ces divers points^