CHAPITRE r. — NOTIONS PRÉLIMINAIBES

^r le plan fixe, et cette projection MNP est «ne ligne dont la courbure

dtffere ordinairement de celle de la courbe donnée dans l'espace. D'ailleurs I ensemble de ces perpendiculaires compose une surface cylindrique dansU sens gênerai de ce mot, et on la nomme fe cylind^ projetant de la courbe m„n 5. Gda posé, je dis qu'un point, une droite, on une courbe, sont complètement déterminés de position, quand on assigne leu« projections sur deux plans

fe VXY f vw"! ''' T°"^ '• "ï"' "^ ^™* P"^ P''^'^'*'*^- S°-«, en eftet, VXY et X¥Z deux plans de ce genre, A et A' les projections données

d un certain point dans l'espace : si par le point A vous élever une perpendiculaire indéfinie Aa sur le plan VXY, cette droite pa.,sera nécessairement par le point demandé ; ce point devra aussi se trouver sur la droite A'a élevée perpendiculairement au plan XYZ; donc il ne pourra occuper dans l'espace quL l^^iUon unique déterminée par l'intersection de ces deux perpendiculaires A la vente, si les deux droites A« et A'a ne se rencontraient pas, il n'existerait aucun point de 1 espace qui eût pour projections A et A' ; mais cela prouve seulement que les deux projections d'un point ne doivent pas être prises d'une manière tout à fe,t arbitraire, et qn'U y a entre elles une dépendance que nous expliquerons bientôt (n° 10).

6^ Soient maintenant AD et A'D- les projections d'une droite inconnue, sur FiG les deux plans fixes VXY et XYZ. En imaginant par la première un plan indefim DA«perpendiculaire à VXY, ce plan renfermera évidemment la droite demandée; elle sera aussi dans le plan D'A'a mené par D'A',.perpendiculai. rement a A ï^ ; donc la ligne inconnue se trouvera nécessairement à l'intersec- ' ^on de ces deux plans, qui est une droite unique et déterminée. Il n'y am-ait d excepuon que dans le cas où les deux plans projetants DAa et D'A'a se confondraient en un seul , ce qui supposerait que la droite dans l'espace, ainsi que ses deux projections, se trouveraient précisément perpendiculaires à l'intersection X¥ des deux plans fixes : alors deux projections de ce genre ne suffiraient plus pour définir la droite en question, et il faudrait demander une troisième projection faite sur un autre plan fixe, non parallèle à l'intei^ection des deux premiers.

7. Enfin, si l'on donne les projections MNP et M'N'F dune courbe inconnue on imaginera par la première un cylindre perpendiculaire au plan VXY et par la seconde un autre cylindre perpendiculaire au plan XYZ; la courbe demandée devra évidemment se trouver située sur chacune de ces surfaces et par conséquent sa position et sa forme seront déterminées parleur inter- ^ecfaon mnp, qm pourra bien être une courte cjaiiche ou œurbe à double cour.

bure (*), c'est-à-dire telle que tous ses points ne soient pas compris dans un même plan. >i](p,'> .

Ce sera donc dorénavant par ses deux projections que nous définirons graphiquement un point ou une ligne; et quand nous dirons que tel point ou telle ligne est donné, il faudra entendre que ce sont leurs projections qui sont connues. Quant aux surfaces, nous verrons plus loin (n°95) comment il faut modifier l'emploi des projections pour les représenter commodément.

8. Dans tout ce qui précède , nous avons supposé que les projections s'exécutaient au moyen de droites abaissées perpendiculairement sur le plan fixe. Quelquefois , il est vrai , on emploie des droites obliques au plan , quoique toujours parallèles à une direction donnée, et les conséquences que nous avons établies dans les numéros 5, 6 et 7 subsistent également; mais il faut de graves motifs pour faire adopter ce genre de projections, parce qu'en général il est moins simple et offre moins d'exactitude dans les résultats graphiques, attendu que des droites qui se coupent obliquement , laissent plus d'inceititude sur la position précise de leur point de rencontre. Ainsi, à moins que nous n'avertissions expressément du contraire, les projections seront toujours orthogonales.

Par des motifs semblables, on choisit ordinairement les plans de projection VXY, XYZ , perpendiculaires entre eux ; et pour se les représenter plus aisément, on suppose que le premier est horizontal et l'autre vertical. licur intersection XY, qui est une ligne importante à remarquer, se nomme la ligne de terre. ^ ; A / a >i imuv

9. Voilà donc une méthode suffisante pour exprimer graphiquement les données d'un problème sans aucune indétermination ; il reste à la modifier de manière que les constructions puissent toutes s'exécuter sur un plan unique. Pour atteindre ce but , on imagine, après avoir projeté les points et les lignes dont il est question sur les plans rectangulaires VXY, XYZ, que ce dernier a

(*) Cette dénomination ne vient pas , comme on l'a dit faussement , de ce qu'une telle courbe participe aux deux courbures des surfaces dont elle est l'intersection j car, d'abord , une surface n'admet pas une courbure unique , et ensuite une même courbe peut être l'intersection d'une infinité de surfaces très-différentes. Mais cette expression veut dire qu'une courbe qui n'est point plane, présente deux sortes de courbure, l'une par rapport à sa tangente, l'autre par rapport à son plan osculateur, comme nous l'expliquerons plus loin (n° 6S4). La premièie est proprement la seule et véritable courbure de la courbe , la seconde est une vraie torsion-^c'est pourquoi la dénomination de courbe gauche seraàt à la fois plus exacte et plus simple..