CHAPITRE II

Problèmes sur les lignes droites et les plans.

17. Construire la droite qui passerait par deux points donnés (A, A') e^M,M'); PiG. L puis, trouver la véritable distance de ces deux points (*).

D'après les définitions établies au n^ 4, il est évident que la projection horizontale de la droite cherchée passera par les points A et M, tandis que la projection verticale passera par A' et M'; donc cette droite indéfinie est pro-

(*) Avant de construire une épure , il est essentiel d'observer les précautions suivantes. On trace d'abord , avec le crayon , une droite indéfinie vers le milieu de la feuille de dessin , et à peu près parallèle à sa longueur : puis , on trace une seconde droite exactement perpendiculaire sur la première , en se servant d'arcs de cercle ; car l'équerre n'est pas un instrument dont la précision soit assez sûre pour qu'on l'emploie à mener des perpendiculaires qui doivent avoir une longueur un peu considérable. Mais du moins l'équerre peut servir à mener des parallèles par un procédé très-exact et très-expéditif , lequel consiste à la faire glisser le long d'une règle fixe; aussi c'est par ce moyen que l'on doit tracer, dans chaque épure, la ligne de terre et toutes les droites qui lui sont parallèles ou perpendiculaires, en se dirigeant sur les deux droites rectangidaires que nous avons recommandé de construire d'abord, et qui forment ce que les praticiens appellent le trait carré.

Ajoutons en outre que , quelque importante que soit la ligne de terre , il faut se garder de la former avec un trait plus gros que les lignes principales; car il en résulterait souvent beaucoup d'inexactitude dans la situation des points oii elle serait rencontrée par les autres droites de l'épure.

lO LIVRE J. — DES DROITES ET DES PLANS.

jetée suivant AM B et A'M' B', et par là elle se trouve complètement déterminée de position (n° 6). D ailleurs on peut construire ses traces (n° 15), qui seront les points (B, B')et(G, G').

Quant à la distance des deux points donnés , elle est mesurée dans l'espace par la portion de droite projetée sur AM et A'M'; mais il est facile de voir qu'une droite finie est toujours plus longue que sa projection sur un plan , excepté quand la première se trouve parallèle au plan sur lequel on la projette; car alors la droite dans [espace est évidemment de même longueur que sa projection. D'après cette remarque, imaginons que la ligne (A M, A' M') tourne autour de la verticale projetée en A, sans changer d'inclinaison avec cette dernière; par là l'extrémité (A, A') demeurera immobile, tandis que l'autre extrémité (M, M') restera à une hauteur constante, en décrivant seulement un arc de cercle autour de l'axe de rotation. Or, si l'on continue ce mouvement jusqu'à ce que la droite mobile soit devenue parallèle au plan vertical, ce qui arrivera quand la projection A M aura pris la situation AP parallèle à la ligne de terre XY, alors l'extrémité M venue en P, se trouvera projetée verticalement (n°10) quelque part sur PIP' perpendiculaire à XY; et comme elle doit être à la même hauteur que M', si l'on mène Thorizontale HM'^P', le point P' sera la projection verticale de l'extrémité mobile de la droite en question. D'ailleurs, puisque l'autre extrémité (A, A') est demeurée invariable, il s'ensuit que la droite (AM, A'M') se trouve actuellement projetée suivant A P, A'P'; et sa véritable longueur est précisément la projection verticale A'P', d'après la remarque faite au commencement de cet article. De là on conclut la règle suivante qu'il faut se rendre très-familière : FjG 4. Pour trouver la distance de deux points (A, A') et (M, M'), formez un triangle rectangle A'H'P', dont un côté A'H' soit la différence des hauteurs A'R et M'K de ces deux points au-dessus du plan horizontal, et dont (autre côté H'P' ^oit égal à l'intervalle AM des deux projections horizontales : l'hypoténuse A'P' sera la distance demandée.

18. On arriverait au même but en construisant , sur le plan horizontal , un triangle rectangle ADQ dont un côté égalerait la différence des distances AR et MK des deux points donnés au plan vertical, et dont l'autre côté DQ serait l'intervalle A'M' des deux projections verticales; l'hypoténuse AQ exprimerait encore la distance des deux points dans V espace, et devrait se trouver identique avec A'P'. Pour se rendre compte de cette nouvelle construction, il suffira d'imaginer que la droite proposée a tourné autour de l'horizontale qui est projetée verticalement en A', sans changer d'inclinaison par rapport à cette dernière, jusqu'à ce que cette droite mobile soit devenue parallèle au plan horizontal.