CHAPITRE II. — PHOBLKMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. II

19. On aurait pu aussi rabattre la droite ( AM , A'M' ) sur le plan horizontal , en faisant tourner autour de AM, comme charnière, le trapèze invariable formé par la droite proposée et par les verticales qui projettent ses extrémités en A et en M. Par-là ces deux verticales seraient demeurées perpendiculaires à la charnière AM , et auraient pris les positions A A" = RA', MM" = RM'; de sorte qu'en traçant la droite A" M", on aurait encore obtenu la véritable distance des deux points (A, A') et (M, M'). D'ailleurs, il se présente ici une de ces vérifications qu'il ne faut pas négliger dans les opérations graphiques ; c'est que la ligne A" M" prolongée doit aller aboutir en B , puisque ce dernier point, étant la trace horizontale de la droite primitive, se trouvait situé sur la charnière AMB, et qu'il a dû, comme tel , rester immobile pendant la révolution de la droite.

20. Réciproquement, si l'on donnait la droite indéfinie (AB, A'B') avec un de ses points (A, A'), et quon voulût trouver sur cette ligne un autre point (M, M') qui fut éloigné du premier dune quantité donnée ^^ on rabattrait comme précédemment la droite proposée sur le plan horizontal , en faisant AA" = RA', et tirant A"B. Ensuite, on prendrait sur cette dernière ligne un intervalle A"M" = (? : puis , en relevant la droite rabattue A"B, le point M" se ramènerait en M par une perpendiculaire sur la charnière AB ; et enfin , de la projection horizontale M, on conclurait (n° 10) l'autre projection M', ce qui déterminerait complètement le point demandé.

21. Pur un point donné{Vi^ D') mener une droite qui soit parallèle à une droite FiG. 5. connue (AB, A' B').

Loreque deux droites sont parallèles, les plans qui les projettent sont évidemment parallèles entre eux; et par conséquent les intersections de ceux-ci avec le plan de projection, c'est-à-dire les projections des droites, seront nécessairement parallèles l'une à l'autre. Réciproquement, lorsque les projections horizontales de deux droites sont parallèles, et qu'il en est de même de leurs projections verticales, les quatre plans projetants sont parédlèles deux à deux; d'où il suit que leurs intersections mutuelles, c'est-à-dire les droites dans l'espace, sont parallèles entre elles. D'après cela , si par le point D on mène une parallèle DE à AB, et par le point D' une parallèle D'E' à A'B', la droite demandée aura pour projection DE et D'E'; elle sera donc ainsi complètement déterminée , et d'ailleurs les traces de cette droite , qui seront en F et en E' , se construiront comme on l'a dit au n° 13.

22. Construire le plan qui passerait par trois points donnés (A, A'), (B, B'), FiG. 6. (G, G').

Observons d'abord que pour déterminer graphiquement la position d'un plan, il suffit d'assigner ses deux traces, c'est-à-dire les intersections de ce plan avec les plans de projection. Ces deux traces devront toujours couper la ligne de terre au même point; mais l'angle qu'elles comprendront entre elles sur les plans de projection rabattus, ne sera pas égal à celui qu'elles forment dans l'espace» En outre, il est bien évident que , quand une droite est située dans un plan , les traces de cette droite (n° 15) doivent être situées quelque part sur les traces du plan.

Cela posé, joignons les points donnés deux à deux par des droites (AB, A'B'), (BG, B'C), (AC, A'C), lesquelles ayant chacune deux points dans le plan cherché, y seront contenues tout entières; puis construisons, comme au n° 15, les traces verticales E', F' et G' de ces droites. Alors ces trois points, qui doivent évidemment appartenir à l'intersection du plan inconnu avec le plan vertical de projection, se trouveront nécessairement en ligne droite, et seront plus que suffisants pour déterminer la trace verticale E'F'G' du plan demandé. De même, la trace horizontale DHK de ce plan s'obtiendra en contruisarit les traces horizontales D, H et R des trois droites auxiliaires; d'ailleurs les deux lignes E'G' et DH ainsi obtenues, devront aller rencontrer la ligne de terre XY en un même point Q, ce qui offrira une nouvelle vérification des constructions antérieures.

Si l'on \ou\ait faire passer un plan par une droite et un point donnés, on joindrait ce point avec un de ceux de la droite, ou bien on mènerait une parallèle à celle-ci par le point donné; alors on connaîtrait ainsi deux droites situées dans le plan cherché, et leurs traces suffiraient pour déterminer celles de ce plan .

FiG. 1. 25. Par un point donné (A, A') mener un plan qui soit parallèle à un autre plan dont la trace horizontale est ST et la trace verticale TV.

Il est évident que deux plans parallèles doivent avoir leurs traces respectivement parallèles; ainsi il suffira de trouver un point de chacune des traces du plan demandé. Pour cela, imaginons par le point donné (A, A') une droite auxiliaire qui soit située dans le plan inconnu; le choix le plus simple sera de mener cette droite parallèlement à la trace horizontale de ce même plan, c'està-dire parallèlement à ST. Si donc on tire dans cette direction la ligne AB, et qu'on mène A'B' parallèle à la ligne de terre, ce seront là évidemment les deux projections de la droite auxiliaire renfermée dans le plan inconnu. Gela posé, en construisant (n" 15) le point B' où elle va percer le plan vertical, ce point appartiendra nécessairement à la trace du plan cherché, laquelle sera par con-

CFIAPITIIE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. l3

sécpient la droite B'Q parallèle à VT : l'autre trace devant passer par lepointQ, sera la ligne PQ parallèle à TS.

On peut aussi , comme vérification , construire directement im point de la trace horizontale du plan inconnu. Pour cela, on imaginera par le point (A, A'), une droite auxiliaire qui soit/;arrt//è/e à la trace verticale de ce plan; et elle aura évidemment pour projections AG parallèle à la ligne de terre, et A'C parallèle à VT. Si donc on cherche (n" 15) le point G où cette auxiliaire va percer le . i'-i

plan horizontal , ce point appartiendra nécessairement à la trace du plan demandé; ainsi il faudra que la droite PQ, déjà construite, passe par le point G.

24. Observons que, dans l'épure actuelle, on n'a pas regardé les deux plans STV et PQR' comme existant réellement; car alors le premier aurait rendu l'autre invisible, et il eût fallu (n° 15, i°) ponctuer en totalité les traces de ce dernier, ce qui aurait multiplié beaucoup les points ronds, et surtout aurait eu le grave inconvénient de ne plus laisser discerner les parties des traces situées en -deçà des plans de projection d'avec celles qui sont au-delà. G'est pourquoi l'on suppose ici qu'il s'agissait de trouver seulement les traces d'un plan parallèle à celui qui aurait lui-même pour traces ST et TV, sans construire effectivement aucun de ces deux plans. Gette restriction, dont le but est de répandre plus de clarté dans les dessins, a été aussi admise dans les épures 8, 9 et 16.

25. Les considérations employées dans les n°* 22 et 23 peuvent servir à résoudre la question suivante : étant donnée la projection horizontale AB d'une FiG. 6. droite que ton sait être située dans le plan connu PQR', trouver [autre projection?

La droite inconnue percera le plan vertical en un point qui doit être projeté horizontalement en E (n° 15); d'ailleurs cette trace ne pouvant être hors de la trace verticale QR' du plan qui renferme cette droite , sera nécessairement située en E', et c'est là un des points de la projection demandée. Ensuite, par des motifs semblables , on voit que la droite en question va percer le plan horizontal en D ; donc, si l'on projette D en D' sur la ligne de terre XY, D'E' sera la projection verticale de la dcoite proposée. On sent bien qu'il serait aussi aisé de trouver la projection DE, en se donnant seulement la projection verticale D'E' avec le plan qui renferme la droite.

Si la projection AB assignée sur le plan horizontal se trouvait, comme dans \sifig. 7, parallèle à la trace PQ du plan donné, on obtiendrait d'abord, comme FiG. -y. ci-dessus, la trace verticale B' de la droite inconnue; mais ensuite la trace horizontale de cette droite n'existant plus, puisque AB ne rencontre pas PQ, il en faudrait conclure que la ligne demandée est parallèle au plan horizontal,

et qu'ainsi sa projection verticale est la droite B'A' parallèle à la ligne de terre XY.

On verra de même que si la projection horizontale donnée est la ligne AG parallèle à XY, la droite dans l'espace est parallèle au plan vertical, et que sa projection sur ce dernier plan est la ligne C'A' parallèle à la trace QR'.

26. Voici encore une question analogue : connaissant la projection horizon- FiG. 6. taie A d'un point que l'on sait être situé sur un plan donné PQR', trouver l'autre

projection? On mènera par le point donné A une droite quelconque DAE, que l'on regardera comme la projection horizontale d'une ligne située dans le plan > PQR'; il sera facile de construire comme ci-dessus la projection verticale D'E' de cette droite , et alors il n'y aura plus qu'à ramener le point A en A' sur cette projection, au moyen d'une perpendiculaire à la ligne de terre (n'* 10). On trouverait aussi aisément la projection A, si l'on avait donné A'.

Parmi les diverses directions que l'on peut donner à cette droite auxiliaire DAE , la plus commode ordinairement est une parallèle à la trace horizontale PQ, comme la ligne AB dans la^^. 7.

27. Trouver [intersection de deux plans qui auraient pour traces, Cun PQ et QW, l'autre STetTW

Fjg. 8. ^^ l'^*^ prolonge les deux traces horizontales jusqu'à ce qu'elles se coupent en B, ce point, évidemment commun aux deux plans, apppartiendra à leur intersection ; et puisqu'il est dans le plan horizontal , ce sera la trace horizontale de la droite cherchée. De même , le point A' où se couperont les traces verticales des plans donnés, sera la trace verticale de cette droite. Connaissant ainsi les deux traces de la commune section , on en déduira immédiatement (n° 14) les projections qui seront AB et A'B'.

28. Si deux des traces se trouvaient parallèles , comme il arrive pour les plans R'Qp et VTS, le point B s'éloignerait indéfiniment, et par suite l'intersection des deux plans deviendrait une horizontale ayant pour projections A'b' parallèle à la ligne de terre, et Ab parallèle à TS : résultat qui était facile à prévoir, puisque les plans donnés passent par (Jeux droites parallèles Qp et TS, et qu'ils ne peuvent dès lors se couper que suivant une droite parallèle à celles-là.

Fi G Q ^^* Lorsque les traces seront respectivement parallèles sur les deux plans de projection à la fois, les plans donnés seront évidemment parallèles entre eux, et il n'y aura plus d'intersection ; â moins que ces traces ne soient en même temps parallèles à la ligne de terre, comme PQ et P'Q' pour l'un des plans, TS et T'S' pour l'autre : car deux plans ainsi placés peuvent encore se couper suivant