CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC
ciilaire à la ligne de terre. Gela posé, choisissons le point (B, B') de la première droite pour mener une parallèle (BE, B'E') à la seconde, et construisons les traces AEQ et QB' du plan qui contiendrait les lignes (AB, A' B') et (jBE, B'E') ; puis, abaissons d'un point (D, D') de la deuxième droite, une perpendiculaire (DF, D'F') sur le plan AQB', et cherchons (n" 30), au moyen du plan projetant DRR', le point (F, F') où cette perpendiculaire rencontre le plan AQB'. Maintenant il faudra mener par le pied (F, F'), et parallèlement à (CD, G'D'), une droite (FG, F'G') qui devra nécessairement (n° 48) couper (AB, A'B'); par conséquent les deux points G et G' devront être sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. Ensuite, du point (G, G') nous mènerons parallèlement à (DF, D' F') la ligne (GH, G' H') ; et comme elle doit aussi rencontrer la droite (CD, G'D'), il faudra encore que H et H' se correspondent sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. Alors GH et G'H' seront les projections de la plus courte distance demandée ; puis , pour en obtenir la grandeur absolue, on prendra (n° 17) sur l'horizontale menée par le point G', une partie KG" =GH, et l'on tirera la droite G"H' qui sera enfin la vraie longueur de la distance en question.
50. On pourrait encore résoudre le même problème, en cherchant l'intersection de deux plans perpendiculaires à AQB', et passant l'un par la droite (AB, A'B'), l'autre parla droite (CD, CD'). D'ailleurs ces plans se détermineraient en abaissant une perpendiculaire sur AQB' par un point de chacune des droites proposées; mais nous laisserons au lecteur le soin d'exécuter ces constructions.
51. Si les deux droites proposées étaient parallèles entre elles, leur distance serait partout la même, et pour l'obtenir, il suffirait de chercher la plus courte distance de la première droite à un point de la deuxième, par exemple, à la trace horizontale de celle-ci; or c'est là un problème dont nous avons donné la solution dans les n°* 36 et 57.
Les diverses questions que nous venons de parcourir, renferment tous les éléments nécessaires pour résoudre les problèmes où il n'y aura à combiner que des droites avec des plans, et l'on en trouvera des applications utiles dans le chapitre suivant. Ici , nous ferons seulement observer qu'étant données les projections de tous les sommets d'un polyèdre, on saura déterminer la position et la longueur de chacune de ses arêtes, l'inclinaison de chaque face sur le plan horizontal ou l'angle de deux faces entre elles; on pourra aussi construire en rabattement, et dans ses vraies dimensions, le polygone qui forme une quelconque de ces faces, puis trouver la section que produirait dans le polyèdre un plan dont la position serait assignée. Réciproquement, si la situation du polyè-
dre est définie par d'autres conditions en nombre suffisant, on pourra en conclure ses deux projections : mais, comme les procédés varieront nécessairement avec le choix des données , nous ne citerons qu'un exemple qui suffira pour indiquer la marche à suivre dans d'autres cas. FiG. 2 2. S2. Un parallélipipède rectangle repose, par sa base, sur un plan qui est incliné à l'horizon d'une quantité (,), et qui a pour trace horizontale PQ ; une des arêtes de cette base est projetée horizontalement suivant AB, tandis que les deux autres arêtes conti- (juës avec celle-là , ont des longueurs données V et \" : on demande de construire les projections horizontale et verticale de ce corps.
Par le sommet B, imaginons un plan de profil PRR' perpendiculaire à la trace PQ : il coupera le plan donné suivant une droite qui formera avec PR l'angle w; par conséquent, si Ton rabat ce profil autour dePR, et que l'on construise l'angle RPR" = w, puis que l'on ramène le point R" sur la verticale RR', la droite R'Q sera (n° 59) la trace verticale du plan donné où repose la base du parallélipipède. D'ailleurs, si nous rabattons ce dernier plan autour de PQ, le point projeté en B et qui est situé en B" sur le profil , se transportera évidemment en 6 ; de sorte que Ab sera le rabattement et la vraie longueur de l'arête projetée en AB sur le plan horizontal. Alors, en tirant la droite Ad égale à l' et perpendiculaire sur A/>, on obtiendra deux des côtés de la base rabattue; puis, en relevant cette face, on verra aisément que ces deux côtés sont projetés suivant AB et AD , et le parallélogramme ABGD sera la projection horizontale de la base du parallélipipède. Gela posé , l'arête perpendiculaire à cette base et qui part de l'angle B, est projetée horizontalement (n° 33) sur la droite indéfinie BP perpendiculaire à PQ; tandis que sur le profil, cette arête est représentée dans sa véritable grandeur par la ligne B"F" égale à l" et menée à angle droit sur PR"; par conséquent, si l'on projette l'extrémité F" en F, BF sera la projection horizontale de l'arête en question : puis , en formant le parallélogramme ABFE , et achevant les autres faces par le moyen de diverses parallèles , on obtiendra aisément la projection complète ABGDHEFG de tout le corps sur le plan horizontal.
Quant à l'autre projection , on observera que les côtés AD et GD se trouvent dans le plan PQR', et qu'ainsi (n° 23) leurs projections verticales sont A'K' et M'N' qui, par leur rencontre, déterminent le point D', projection verticale de l'angle D (*). Si, de plus, on projette le sommet G en G' sur M'N', on pourra
(*) On pourrait aussi trouver les points D', C, B', d'après leurs projections horizontales et leurs hauteurs au-dessus de la ligne de terre ; car ces hauteurs seraient fournies par le profil ^ où les points en question sont projetés tous sur la droite PR".
