CHAPITRE II. ~ PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. i

45. Si l'on proposait de diviser en deux parties égales f angle de deux droites FiG. i8. qui se coupent, on opérerait cette division après avoir rabattu cet angle sur le

plan horizontal; puis, on relèverait l'angle AB"G et la droite bissectrice, en observant que le point où cette dernière ligne va couper la trace horizontale AC du plan des droites données, demeure immobile pendant ce mouvement de rotation. Nous conseillons au lecteur de s'exercer sur les opérations indiquées dans les n°* 44 et 45.

46. Trouver [angle formé par une droite (AB, A'B') avec un plan PQR'. FiG. i o. L angle d'une droite avec un plan serait une quantité indéterminée, si l'on

ne convenait pas d'entendre par-là \ angle que forme la droite proposée avec sa projection orthogonale sur le plan; et ce choix est fondé sur ce que ce dernier angle est évidemment le plus petit de tous ceux que fait la droite avec les diverses lignes tracées par son pied dans le plan en question. Il suit de là que, si Ton abaisse d'un point de cette droite une perpendiculaire sur le plan proposé, l'angle compris entre cette perpendiculaire et la droite primitive, se trouvera le complément de celui qu'on veut obtenir et suffira pour en déduire ce dernier.

Menons donc par le point (B, B') choisi arbitrairement sur la droite donnée, une perpendiculaire ( BG, B'G' ) au plan PQR' ; puis, construisons l'angle formé parles deux droites (AB, A'B') et (BG, B'G'). En appliquant ici la méthode du n° 45, on verra qu'il faut abaisser la perpendiculaire BH sur AG, prendre KH" = BH, et porter l'hypoténuse B'H" de H en B"; alors AB"G sera l'angle des deux droites. Ensuite, on en construira le complément, en traçant la droite B"D perpendiculaire sur GB"; et enfin AB"D sera l'angle formé par la droite (AB, A'B') avec le plan PQR'. . , -

47. La même méthode peut servir à trouver t angle d'une droite avec le plan horizontal ou avec le plan vertical; seulement, les constructions précédentes éprouveront des simplifications que l'on apercevra aisément. D'ailleurs , on arrive à ces résultats d'une manière encore plus prompte, en observant que d'après la définition du n* 46 , ces angles sont précisément ceux que forme la droite avec ses deux projections; ainsi , en rabattant la droite sur un des plans fixes, comme au n° 17, on verra que l'angle ABA" est l'inclinaison de la droite (AB, A'B') sur sa projection AB, ou sur le plan horizontal.

48. Construire la position et la grandeur de la ligne qui mesure la plus courte distance eiUre deux droites non situées dans un même plan.

On sait que, dans l'espace, deux droites peuvent ne pas se rencontrer, sans être parallèles ; alors il y a lieu de chercher, parmi toutes les lignes qui réunis-

sent deux quelconques de leurs points, quelle est la plus courte; mais, afin de faire mieux saisir la série d'opérations à effectuer pour résoudre ce problème,

FiG. 20. nous allons d'abord les indiquer sur une figure en perspective, où AB et CD représenteront les deux droites proposées. Si, par un point quelconque B de la première , nous menons une droite BE parallèle à CD , et que nous imaginions le plan ABE, ce plan se trouvera lui-même parallèle à la ligne CD; ainsi, en abaissant d'un point de cette dernière une perpendiculaire DF sur le plan ABE, la dislance cherchée ne saurait être moindre que DF. Mais pour faire voir qu'une droite égale à DF peut effectivement réunir deux points des lignes proposées, menons par le pied F de cette perpendiculaire une parallèle FG à CD ; cette ligne FG rencontrera nécessairement AB en un certain point G, sans quoi AB serait parallèle à CD, ce qui est contraire à l'hypothèse admise. Or, si du point G nous élevons la perpendiculaire GH sur le plan ABE, elle se trouvera évidemment contenue dans le plan GDFG déjà perpendiculaire sur ABE , et par conséquent GH rencontrera CD. Cette ligne GH, égale et parallèle à DF, mesurera donc la plus courte distance des droites AB et CD ; et l'on voit qu'elle se trouvera perpendiculaire à toutes deux en même temps, puisqu'elle Test sur le plan ABE parallèle à ces droites.

Pour confirmer à posteriori la première de ces deux conséquences , il suffit d'observer qu'enjoignant deux points quelconques m et n des lignes proposées, la droite mn sortira du plan GDFG, toutes les fois que le point n sera différent de G; dès lors mn sera une oblique par rapport au plan ABE, etconséquemment elle sera plus longue que la perpendiculaire mp qui égale GH. Quant au cas où le point n coïnciderait avec G, la droite mG serait oblique par rapport à CD, et par conséquent plus longue que la perpendiculaire GH, qui demeure ainsi la plus courte de toutes les lignes qui peuvent réunir deux points quelconques des droites proposées.

49. Réalisons maintenant les constructions que nous n'avons fait qu'indiquer ci-dessus, et l'on reconnaîtra (comme nous l'avons annoncé n° 5) la différence essentielle qui existe entre les procédés vagues de la Géométrie ordinaire et les méthodes précises par lesquelles la Géométrie descriptive obtient des résultats complètement déterminés, pour la solution des problèmes relatifs aux trois dimensions de l'espace.

FiG. 21. ^"^oient donc (AB, A'B'), et (CD, G'D')les deux droites données: on s'assure qu elles ne se trouvent pas dans un même plan , en remarquant d'abord qu'elles ne sont point parallèles, et qu'ensuite les points où leurs projections verticales et horizontales se coupent, ne sont pas situés (n° 43) sur la même perpendi-