CHAPITRE III

Résolution de V angle trièdre.

55. Dans un angle solide à trois faces SABG, le sommet offre trois angles FiG. 23. plans et trois angles dièdres : les premiers sont les angles rectilignes formés par les arêtes entre elles, les autres sont les inclinaisons mutuelles des faces. De ces six angles, trois quelconques étant donnés, il s'agit de trouver les autres, ce qui offre six problèmes distincts; car, en désignant par A, B, G les angles dièdres qui ont respectivement pour arêtes SA, SB, SG, et par a, ê, y les angles plans ou faces qui sont opposés à ces angles dièdres, on peut donner :

1°. Les trois faces ou angles plans a, Ç, •/

2*. Deux faces et l'angle dièdre compris ''.'^\'*'a, ê, G

3°. Deux faces et l'angle dièdre opposé à l'une d'elles. . . a, ê, B

4°. Deux angles dièdres et une des faces opposées A, B, S

6°. Deux angles dièdres et la face comprise A,B,y

6°. Les trois angles dièdres A, B, G

Ge sont là évidemment les seules combinaisons vraiment distinctes ; et même les trois derniers cas peuvent se ramener aux trois autres par le secoui's d'un angle trièdre supplémentaire.

54. D'un point quelconque S' pris dans [intérieur de l'angle solide S, abaissons une perpendiculaire sur chacune de ses faces; et pour fixer les idées, re*

gardons le plan BSG comme horizontal , et l'arête SA comme située au-dessus de ce plan. Nous formerons ainsi un second angle trièdre S', ayant pour arêtes la verticale S'A', avec les deux droites S'B', S'C, respectivement perpendiculaires sur les faces ASC, ASB ; et ce nouvel angle solide est dit supplémentaire du premier, parce que les faces et les angles dièdres de l'un senties suppléments des angles dièdres et des faces de l'autre. Mais , avant de démontrer ces relations réciproques , observons qu'il n'est pas indifférent, pour former le nouvel angle solide , d'abaisser les perpendiculaires de tel ou tel point de l'espace ; car trois droites ou trois plans qui se coupent en un même point S', et qui sont prolongés de part et d'autre de ce point, déterminent toujours huit angles trièdres différents , parmi lesquels il n'y en a que deux (symétriques J'un de l'autre et opposés par le sommet) qui soient vraiment supplémentaires de l'angle donné SABG. Aussi, pour ne pas commettre d'erreur dans la manière de prolonger les perpendiculaires, nous avons recommandé de les abaisser sur les faces, à partir d'un point pris dans l'intérieur de l'angle solide proposé ; ensuite on pourra transporter où l'on voudra dans l'espace , l'angle S' ainsi formé.

55. Gela posé , en désignant par A', B', G', les angles dièdres compris entre les faces qui se coupent suivant S'A', S'B', S'G', et par a', ê', y' les faces opposées à ces arêtes, on voit que le plan A' S'B', perpendiculaire aux deux faces BSG, ASG, les coupera suivant deux droites A' E, B'E, qui seront elles-mêmes perpendiculaires sur SG ; et par conséquent l'angle A' EB' sera la mesure de l'angle dièdre G. Or le quadrilatère plan S'A'EB' a deux de ses angles qui sont évidemment droits , savoir : A' et B' ; donc les deux autres sont supplémentaires , et l'on a s

A'S'B' -h A'EB' = i8o°,oubien • 7' -h G = 180";

on prouvera de même que . g' + B = 180",

en considérant les quadrilatères S'A' DG' et S'G'FB' formés par les sections que produisent les faces A'S'G' et B'S'G' dans l'angle solide S. Donc les faces de l angle solide S' sont bien les suppléments des angles dièdres de S.

56. Maintenant, considérons les angles dièdres de S'; les deux faces B'S'A' et G'S'A' coupent le plan BSG auquel chacune est perpendiculaire, suivant les droites A'E et A'D; donc l'angle rectiligne DA'E est la mesure de l'angle dièdre A'. Mais dans le quadrilatère SDA'E, les angles D et E sont évidemment droits, puisque la face A'S'B' est perpendiculaire sur SG, et A'S'G' sur SB; par