CHAPITRE III. — RESOLUTION DE L ANGLE TRIEDRE

conséquent les deux autres angles de ce quadrilatère sont supplémentaires et l'on a

DA'E-hDSE= i8o",oubien A' -h a = 180°;

on prouvera de même que B' 4- § = i8o°,

au moyen des quadrilatères SEB'F et SDC'F. Donc les angles dièdres de S' sont les suppléments des faces de S; et l'on peut dire que ce dernier angle solide est à son tour supplémentaire de [angle S'.

37. Remarquons ici qu'en décrivant du point S comme centre, une sphère d'un rayon quelconque SA, elle serait coupée parles faces de l'angle solide S, suivant trois arcs de grands cercles AB , BG , GA, lesquels formeraient un triangle sphérique, dont les côtés mesureraient les angles plans a, ê, y, et dont les angles ne seraient autre chose que les inclinaisons A, B, G des faces de l'angle solide. Par conséquent , la construction de ce dernier, d'après la connaissance de trois de ses éléments, revient à la solution graphique des problèmes que traite par le calcul la trigonométrie sphérique. D'ailleurs, si l'on transportait au centre S l'angle solide S', ses faces couperaient la même sphère suivant un autre triangle qui serait le triangle supplémentaire ou polaire de ABG , et dont ou fait usage aussi dans la trigonométrie sphérique (*).

58. Revenons maintenant aux six problèmes que nous avons énoncés n" 35, et observons que, quand on donne les trois angles dièdres A, B, G, on peut trouver tout de suite leurs suppléments , qui seront (n° 55) les faces a', ê', y' d'un autre angle solide S'; or si, par le premier cas du n" 55, on sait déduire de ces

(*) A la rigueur, pour avoir le triangle polaire de ABC dans la situadon où on l'emploie ordinairement dans la trigonométrie, il faudrait adopter l'angle solide symétrique de S'A'B'C, lequel s'obtiendrait en prolongeant les trois arêtes au-delà du point S'; c'est-à-dire qu'il eût fallu, dès le commencement, élever par le sommet S trois perpendiculaires aux faces de cet angle solide , l'une sur ESC et située du même côté de cette face que l'arête SA ; l'autre sur CSA et du même côté que l'arête SB; enfin, la troisième sur ASB et du même côté que SC. L'angle solide ainsi construit, aurait coupé la sphère précisément suivant le triangle polaire de ABC; mais la figure eût été peu intelligible sans le secours des triangles sphériques : c'est pourquoi nous avons préféré la construction du n° M ; d'autant plus qu'ici , où il ne s'agit que d'angles solides, ceux qui sont symétriques l'un de l'autre, se trouvent composés avec les mêmes éléments disposés seulement dans un autre ordre, et que les relations supplémentaires sont également vraies.

3o "LIVRE I. — DES DROITES ET DES PLANS.

nouvelles données les angles dièdres A', B', G' de cet angle S', il n'y aura plus qu'à prendre les suppléments de ceux-ci pour obtenir ( n" 56 ) les faces a , ê , y de l'angle solide primitif S. On voit par-là que le sixième cas se ramène au premier ; et de même on réduira le cinquième au deuxième, et le quatrième au troisième. Nous allons donc nous occuper seulement de la résolution des trois premiers problèmes.

FiG. 24. 59. Premier cas. Etant données les trois faces a, ê, -^dun angle solide, trouver les trois angles dièdres A, B, G.

Soient A" SB, BSG, GSA' les trois angles donnés, supposés rabattus sur le plan de la face BSG , que nous regarderons comme le plan horizontal de l'épure : il est clair que, pour recomposer l'angle solide, il suffirait de faire tourner les deux faces latérales A"SB, A'SG, autour des droites SB et SG comme charnières, jusqu'à ce que les deux lignes SA" et SA' vinssent coïncider Tune avec l'autre; et leur position commune dans l'espace serait celle de la troisième arête , dont nous désignerons la projection inconnue par SA. Pour la déterminer, prenons sur les droites rabattues SA' et SA" deux distances quelconques, mais égales , SD' := SD" ; alors les points D' et D" devront évidemment se réunir dans la formation de l'angle solide; puis, comme en tournant autour des droites SG, SB, ils ne sortiront pas des plans verticaux D'FD, D"ED, perpendiculaires à ces charnières, il s'ensuit que les points rabattus en D' et D" iront coïncider avec le point de l'espace qui est projeté horizontalement en D , et par conséquent la troisième arête de l'angle solide aura pour projection SDA.

D'ailleurs, le plan vertical FD perpendiculaire à SG , devra couper les deux faces qui passent par cette arête, suivant des droites FD, FD' qui, étant relevées, comprendront entre elles un angle égal à l'inclinaison de ces faces, et qui formeront un triangle rectangle avec la verticale D; par conséquent, si l'on rabat ce triangle autour de FD , en élevant sur cette base une perpendiculaire indéfinie DG' que l'on terminera par un rayon FG' = FD', on obtiendra ainsi l'angle rectiligne G'FD pour la mesure de l'angle dièdre G qu'il s'agissait de trouver.

De même, le plan vertical ED coupera les deux faces passant par SB, suivant des droites ED, ED" qui, étant relevées , comprendront entre elles la mesure de l'angle dièdre B ; et comme ces droites forment aussi avec la verticale D un triangle rectangle dont elles sont la base et l'hypoténuse, on pourra aisément construire le rabattement G"ED de ce triangle, et l'angle B sera mesuré par DEG". On observera d'ailleurs que les deux verticales DG' et DG" de-