CHAPITRE 111. — PLANS TANGENTS AUX CYL. ET AUX CONES

la {génératrice rectilignc doit rester constamment parallèle, en glissant sur AEGG. Nous commencerons par déterminer le contour apparent de la surface qui, sur le plan horizontal, sera donné (n" 106) par les points de contact de tous les plans tangents verticaux. Or, chaque plan de ce genre renfermera une arête (*) du cylindre, et aura pour trace horizontale la projection même de cette droite, cest-à-dire une parallèle àab;de plus, ce plan touchera le cylindre tout le long de cette génératrice (n° 99), et par conséquent sa trace devra être tangente à la base AEGG ; donc , si l'on mène à cette courbe les tangentes AB et G D parallèles à. ab, ce seront les traces des plans tangents verticaux, et en même temps les projections horizontales de leurs lignes de contact qui seront les deux génératrices (AB, A'B') et CD, G'D'). Ainsi, ces deuxhgnes formeront le contour apparent du cylindre sur le plan horizontal, et toute arête de cette surface qui sera au-dessous de ces droites, c'est-à-dire qui aboutira sur le demicercle AGC, sera invisible en projection horizontale.

Quant au contour apparent sur le plan vertical , il sera fourni (n° 106) par les plans tangents qui seront perpendiculaires à ce plan de projection; leurs traces horizontales devront donc être perpendiculaires à la ligne de terre, et tangentes comme ci-dessus à la base AEGG; par conséquent ces traces seront EE' et GG'. Ensuite, comme ces plans toucheront nécessairement le cylindre suivant les génératrices EF et GH, dont les projections verticales sont les droites E'F' et G'H' parallèles à a'b\ ces deux génératrices formeront le contour apparent de la surface sur le plan vertical; de sorte que toute arête qui se trouvera en arrière de ces droites, ou qui aboutira sur le demi-cercle EAG, sera invisible en projection verticale.

110. Maintenant, résolvons le problème proposé, en supposant que M soit la projection horizontale du point donné; et puisqu'il doit être sur la surface, il ne faudra pas choisir arbitrairement la seconde projection de ce point, car

(*) Quelquefois, pour simplifier le langage, nous appellerons arêtes d'un cylindre ou d'un cône, les diverses positions de la génératrice rectiligne; mais il ne faut jamais donner à ces droites le nom d'éléments , car les éléments d'une grandeur doivent toujours être homogènes avec elle : ainsi les éléments d'une surface sont d'autres petites surfaces dont la somme compose la surface en question. D'ailleurs, nous aurons besoin plus tard (n" 189) d'employer ce mot d'élément dans sa véritable acception , et alors il résulterait de ce double sens une confusion d'idées très-nuisible dans la théorie des surfaces gauches. Nous emploierons aussi quelquefois le nom de base pour désigner la directrice d'un cylindre ou d'un cône, surtout quand cette courbe se trouvera située dans le plan horizontal.

celle-ci va résulter de la première. En effet, par le point en question sur le cylindre, il passe nécessairement une génératrice qui sera projetée horizontalement suivant ML parallèle à ab; or ML allant rencontrer la base du cylindre en L, ce point doit être la trace horizontale de cette génératrice, dont la projection verticale sera par conséquent L'R' parallèle à a'h' ; ainsi , en projetant le point M sur L'R', on obtiendra les deux projections M et M' du point assigné sur le cylindre.

Cependant il existe ici une seconde solution; car la droite ML allant couper la base en deux points Ij et V, on peut dire que V est la trace d'une autre arête projetée également sur MV, mais dont la projection verticale serait V'K"; de sorte que , si Ton rapporte le point M sur cette dernière droite en M", il y aura sur le cylindre un second point (M , M") qui sera, comme le premier (M, M'), projeté horizontalement en M.

FiG. 39. m. Cela posé, contruisons le plan tangent pour le point (M, M'). Ce plan renfermera la génératrice ( ML , M'L'), et par conséquent sa trace passera par le pied L de cette droite ; puis , comme il doit toucher le cylindre tout le long de cette génératrice (n° 99) , il contiendra nécessairement la tangente de la base au point L , c'est-à-dire la ligne LQ, qui sera précisément la trace horizontale du plan demandé. Pour obtenir l'autre trace , on cherchera le point R' où la droite (ML, M'L') contenue dans ce plan, va percer le plan vertical, et QR' sera la trace verticale du plan tangent. Mais s'il arrive, comme dans notre épure, que la trace PQ aille couper la ligne de terre à une distance trop considérable, on imaginera parle point (M, M'), une droite auxiliaire qui soit parallèle à la trace horizontale LQ, et dont les projections seront évidemment MX parallèle à QL , et M'X' parallèle à la ligne de terre; puis, en construisant le point X' où cette auxiliaire va percer le plan vertical, ce point devra appartenir encore à la trace verticale du plan tangent , laquelle sera X' R'. Dans tous les cas, ce moyen est bon à employer comme vérification.

Quant au plan tangent relatif au point (M, M"), on observera que la génératrice de contact est ici projetée sur M V, M" V ; donc, en menant par le pied V de cette droite une tangente VS à la base du cylindre, ce sera la trace horizontale de ce nouveau plan tangent. La trace verticale SR" se déterminera, comme ci-dessus, en cherchant le point R" où la génératrice de contact va percer le plan vertical ; ou bien, on aura recours encore à l'horizontale (MY, M"\") , qui fournira un troisième point Y' de cette trace.

112. Observons d'ailleurs que les deux plans tangents PQR' et PSR', que nous venons de construire , renferment deux génératrices du cylindre qui sont pa-