CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS AUX CYL. ET AUX CONES

rallèles entre elles ; donc ces plans ne pourront se couper que suivant une droite parallèle à ces génératrices. Par conséquent, si l'on construit (n° 27) l'intersection (PR, P'R') de ces deux plans, cette droite devra se trouver exactement parallèle à (ah, a' h'), ce qui fournira une nouvelle vérification des opérations graphiques antérieures.

113. D'après les motifs exposés n** 108, nous nous sommes proposé, dans 1 épure actuelle, de construire seulement les traces des plans tangents, sans regarder ceux-ci comme réellement existants; mais, puisque ces traces subsistent , il faudra ponctuer les parties de ces lignes qui se trouvent cachées par la projection du cylindre sur le plan horizontal et sur le plan vertical. Quant aux diverses arêtes du cylindre, nous aurions pu pomfi7/er celles d'entre elles qui nous avaient servi de lignes auxiliaires pour arriver aux plans tangents ; mais nous avons préféré de regarder toutes ces droites comme autant de génératrices réellement existantes, et dont l'ensemble accuse mieux la forme de la surface; dès lors elles ont dû être marquées par un trait plein ou ponctué , selon qu'elles étaient visibles ou invisibles; distinction qui s'effectuera d'après les règles énoncées au n« 109.

114. Si l'on veut construire la courbe suivant laquelle le cylindre va pénétrer le plan vertical, il suffira de chercher les traces des diverses génératrices de cette surface, et l'on obtiendra ainsi la ligne F'R'D'H' K"B' qui, dans l'exemple actuel , sera une ellipse ; elle devra touclier aux points K', K", les traces des deux plans tangents, puisque ceux-ci renferment (u° 99) les tangentes à toutes les courbes situées sur le cylindre, et menées par les divers points de leur arête de contact. Pour obtenir les points le plus haut et le plus bas de la courbe

F'K'D'H' , il suffira de construire les deux génératrices qui répondent aux

points de la base T et ï dans lesquels la tangente est parallèle à la ligne de terre. Car, pour chacune de ces génératrices, par exemple (TU, T'U' ), le plan tangent correspondant coupera le plan vertical suivant une droite évidemment parallèle à cette ligne de terre, et conséquemment horizontale ; d'ailleurs cette intersection devant toucher nécessairement la courbe F'K'D'H' , il s'ensuit que le

point U' est bien celui où la tangente est horizontale. Observons en outre que cette conséquence est vraie pour un cylindre quelconque , quand même sa base serait toute autre courbe qu'un cercle.

115. Ajoutons enfin ^ que si l'on avait d'abord assigné pour la directrice du cylindre, une courbe quelconque située dans l'espace et définie par ses deux projections sur les plans fixes, on aurait pu ramener la question au cas du n° 109, en tirant par divers points de cette courbe des parallèles à la droite

{ab, a' b')^ et en cherchant les traces de ces génératrices sur le plan horizontal ; par-là on aurait trouvé la base AELG, que nous nous sommes donnée immédiatement. .

116. Mener un plan tangent à un cylindre, par un point donné hors de cette surface.

Fi G. 39. Conservons pour le cylindre les mêmes données que précédemment, et soit (N, N') le point assigné dans l'espace; nous mènerons par ce point, et parallèlement aux génératrices, une droite (NP, N'P') qui devra évidemment se trouver contenue tout entière dans le plan tangent cherché, puisque celui-ci, quel qu'il soit , renfermera une arête du cylindre. Donc , en construisant la trace horizontale P de cette droite, on obtiendra un point de la trace du plan demandé; et celle-ci devant toucher la base du cylindre (n° 99) , sera Tune des tangentes PIjQ et PVS que l'on peut mener à cette base par le point P. Il y aura donc deux plans qui résoudront le problème, et leurs traces verticales s'obtiendront aisément, puisque chacun de ces plans renfermera la droite (PN, P'N') et l'arête qui part du point de contact L ou V (*). D'ailleurs on pourrait aussi , comme au n° 111, imaginer par le point donné (N, N') une horizontale située dans l'un ou l'autre des plans tangents , et construire la trace verticale de cette droite.

117. Trouver un plan qui soit tangent à un cylindre et parallèle à une droite donnée.

FiG. 4o. Soit AEGG la base du cyhndre sur le plan horizontal, et (EF,E'F) une des génératrices : on construira le contour apparent de cette surface sur les deux plans fixes comme au n° 109; puis , si l'on représente par (mn, m'n') la droite donnée, il faudra, par un point de cette ligne, mener une parallèle (ma, m' a') aux génératrices du cylindre, et faire passer un plan par ces deux droites. Ce plan , qui aura pour trace horizontale an, devra se trouver parallèle au plan langent cherché, puisque ce dernier renferme une arête du cylindre, et se trouve ainsi parallèle aux deux droites projetées sur ma et mn; donc la trace de ce plan tangent sera l'une des deux tangentes PQ ou TS menées à la base parallèlement à an. Par conséquent il y aura encore deux solutions, et les traces verti-

(*) Il arrive ici que les points de contact L et V sont sur une même parallèle à la droite ab, parce que nous avons voulu faire servir la figure du problème précédent; mais lorsqu'on prendra le point (N, N') tout-à-fait arbitrairement, cette circonstance n'aura pas lieu en général, et du reste cela ne changera rien aux raisonnements qui nous ont servi à résoudre le problème actuel .