CHAPITRE I. — PRINCIPES GÉNÉRAUX. I

conséquent, il suffira de construire ces deux plans par les méthodes exposées précédemment , et de chercher la droite suivant laquelle ils se couperont : on pourra même se borner à trouver un seul point de cette droite, puisque le point M est déjà assigné par la question.

Lorsqu'une des surfaces proposées, par exemple S', sera un plan, ou bien quand on saura que la courbe AMB est plane , quoique les deux surfaces dont, elle est l'intersection soient courbes, la règle précédente se réduira évidemment à chercher l'intersection du seul plan tangent de S avec le plan S', ou avec le plan de AMB. -n <•' '> •

2 14. Autre méthode. Si l'on construit la normale MN de la surface S pour le point M, et la normale MN' de la surface S' pour le même point, il est évident que le plan NMN' conduit par ces deux droites , se trouvera perpendiculaire à chacun des plans tangents, et par suite à leur intersection qui est MT. Ainsi, la tangente à l intersection de deux surfaces est une droite perpendiculaire au plan des deux normales à ces surfaces ; ce plan coïncide d'ailleurs avec le plan normal (n° 168) de la courbe AMB. Il suffira donc de construire ces deux normales et le plan qu'elles déterminent, puis, de lui mener une perpendiculaire par le point donné M. Cette méthode (*) est fort précieuse, 1° parce qu'il y a des surfaces où la normale se détermine d'une manière beaucoup plus simple que le plan tangent, et indépendamment de celui-ci (n° 156); 2° parce qu'il se rencontre quelquefois des points singuliers, pour lesquels les deux plans tangents se trouvent perpendiculaires à un même plan de projection ; alors le procédé du n° 215 ne donne plus de résultat déterminé pour la tangente de la courbe projetée sur ce plan, tandis que la méthode des deux normales peut encore s'appliquer par suite de certaines relations qui, à la limite, ne deviennent pas indéterminées. Nous en verrons des exemples dans plusieurs épures de géométrie (n*'* 540, 488) et dans la coupe des pierres.

215. Lorsque les surfaces en question sont placées de telle sorte qu'elles se louchent le long de la ligne qui leur est commune, cette intei'section particulière prend le nom de ligne de contact , et Tune des surfaces est dite circonscrite à l'antre; on pourra toujours construire cette courbe par le procédé général du n° 210, mais on ne saura plus lui mener de tangente ; car, d'après l'hypothèse actuelle, les deux plans tangents dont cette droite serait l'intersection.

(*) Elle est 4ue à M. /. Binet, qui en a fait lui-même des applications intéressantes à diverses épures de géométrie et de coupe des pierres.

lo8 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

se trouveront coufondus Tun avec l'autre. La même indétermination résulterait de la méthode des deux normales ; car ces droites coïncideront entre elles en même temps que les plans tangents, et le plan normal qu'elles devaient servir à fixer, restera encore indéterminé. Ainsi, pour les lignes de contact de deux surfaces, la géométrie ne fournit point de méthode graphique propre à trouver leurs tangentes (*), à moins toutefois que la ligne de contact ne soit plane ; car, dans ce cas , la combinaison de son plan avec le plan tangent commun aux deux surfaces, donnerait encore la tangente cherchée.

216. Après avoir exposé ces notions générales sur les intersections de surfaces, nous allons les éclaircir en résolvant divers problèmes de ce genre, dans lesquels nous trouverons d'ailleurs l'occasion d'expliquer encore quelques particularités remarquables, telles que la recherche des branches infinies et celle des asymptotes , dont nous ne pourrions parler maintenant que d'une manière vague et obscure.