CHAPITRE II. —DES SECTIONS PLANÉS. ij
plan vertical , on obtiendra les points A' et D' qui séparent la partie visible de l'intersection cherchée, d'avec la partie invisible; et dans ces points-là , la projection verticale A'B'D'C devra toucher les deux droites UU' et VV. En effet, la tangente de la courbe dans l'espace pour le point (A , A'), est nécessairement située dans le plan tangent du cylindre le long de l'arête (A, UU'); mais ce plan est ici perpendiculaire au plan vertical , et par conséquent la tangente en question se trouve projetée sur sa trace UU', laquelle doit ainsi toucher la courbe A'B'D'C; car d'ailleurs nous avons démontré (n° 102) qu'une courbe et sa tangente devaient se retrouver tangentes lune à l'autre, quand on les projetait sur un même plan.
2". Le point le plus haut et le point le plus bas de la courbe, c'est-à-dire ceux où la tangente sera horizontale , s'obtiendront en cherchant les arêtes B et G, pour lesquelles le plan tangent du cylindre se trouve parallèle à la trace PQ. En effet, si, après avoir conduit dans cette direction la tangente BI de la base ABDG, et avoir construit comme ci-dessus le point (B, B') de la section , on veut trouver la tangente relative à ce point, il faudra (n° 215) chercher l'intersection du plan PQR' avec le plan vertical BU' qui touche le cylindre en (B , B') ; or, ces deux plans ayant leurs traces parallèles , ils se couperont nécessairement suivant une horizontale l'B' qui sera la tangente au point B'. Cette droite devient ainsi une limite de la courbe; et l'autre limite sera la tangente au point (G, G'), qui se trouvera pareillement horizontale.
250. La tangente en un point quelconque (M, M') sera donnée par l'intersection du plan PQR' avec le plan tangent du cylindre le long de l'arête verticale M ; or ce dernier a pour trace la droite MT qui rencontre PQ au point T ; de sorte que, sans chercher la seconde trace de ce plan tangent, on est certain que T est la trace horizontale de la tangente demandée. Dès lors, en projetant ce point sur la ligne de terre, et le joignant avec le point de contact, on obtiendra TM etT'M' pour les projections de la tangente.
251. Le rabattement de la courbe pourrait s'effectuer en faisant tourner le plan PQR' autour de sa trace PQ, pour l'abattre sur le plan horizontal; et comme dans ce mouvement de révolution, le point quelconque (M, M') ne sortirait pas du plan vertical PM perpendiculaire à la charnière PQ , il suffirait de chercher (n" 17) la distance du point P au point (M, M'), puis de porter cette distance sur PM prolongée, pour obtenir la position du point (M, M') en rabattement. Les autres points se détermineraient d'une manière semblable.
Mais il vaut mieux rabattre le plan PQR' sur le plan vertical, autour de sa trace QR', parce que chaque horizontale telle que (KM , K'M') conservera sa
Il6 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.
grandeur absolue qui est KM, et deviendra parallèle à la position que prendra la trace PQ après ce rabattement. Pour trouver cette position , j'imagine que la droite (BG, B'C) soit prolongée jusqu'aux points S et R' où elle rencontre les deux traces du plan PQR'; et j'observe que cette droite, dont la vraie grandeur est le rabattement R'S", fait partie d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont QS et QR'. Si donc, avec ces trois côtés, on construit le triangle QR's, la base Qsp sera le rabattement de la trace QSP : alors, en tirant des parallèles à cette ligne Qsp, et en prenant les distances
Vb = m, Z'a = ZA, Z'/=ZL, K'n = RN, Km = KM, ;
on obtiendra une série de points qui, réunis par un trait continu, fourniront la courbe blmedcfab pour la vraie grandeur de l'intersection du cylindre par le planPQR'.
Quant à la tangente de ce rabattement, il suffira de prendre la distance Qt égale à QT, et de joindre le point t avec m par la droite tm.
232. Le développement de la surface s'effectuera, comme au n° 222, en portant sur une droite indéfinie des longueurs égales aux arcs de la base ABDG, rectifiés au moyen de très-petites cordes, savoir :
