CHAPITRE 11. —DÈS SECTIONS PLANES. Ii

nions par le point ê une droite quelconque qui rencontrât l'arc inférieur en /ut, , cette même ligne couperait nécessairement l'arc supérieur dans un autre point y qui serait à la même distance que /x par rapport à ê; donc , en faisant tourner cette sécante autour du point ê, les deux points jui et «p se rapprocheront simultanément de celui-ci, et lorsque p, viendra se confondre avec ê, au même instant 9 coïncidera pareillement avec ê. D'où l'on voit que la position limite de cette sécante sera déterminée , non par la réunion de deux points de section , mais par celle de trois points de ce genre; et qu'ainsi cette tangente particulière offrira un contact du second ordre, d'après lequel elle aura un élément commun avec l'arc êa, et aussi un élément commun avec l'arc êd*. D'ailleurs, ces deux arcs se trouveront évidemment de côtés opposés par rapport à la tangente, à cause des mouvements contraires que prennent simultanément les deux portions de la sécante, lorsqu'elle tourne autour du point ê; donc il y aura là une inflexion (*).

Pour éviter la confusion des lignes, nous avons construit cette tangente singulière pour le point analogue y, en prenant la sous-tangente G" 6" égale à Cd, et en joignant les points y et 9".

227. Le développement d'un cylindre est une opération nécessaire à employer dans certains arts. Si, par exemple, on voulait former en tôle ou en fer-blanc un tuyau cylindrique qui dût se terminer à deux plans, l'un perpendiculaire, l'autre incliné sur sa longueur, il faudrait tracer, sur la feuille de métal encore plane, la courbe â'ccâ; puis, découper cette feuille le long de cette courbe , en enlevant la partie supérieure; alors on serait certain qu'en courbant le reste de la feuille de tôle au moyen d'une enclume cylindrique , le bord supérieur présenterait la forme d'une courbe plane, ayant l'inclinaison voulue par la question.

( * ) Il est bon d'observer que, quelle que soit la base du cylindre coupé par un plan, la transformée offrira un point d'inflexion à l'endroit où la tangente de la section primitive était la ligne de plus grande pente du plan sécant, du moins quand les arêtes du cylindre sont verticales ; et en général , cette inflexion aura lieu au point où la tangente de la section forme un angle minimum avec les génératrices. En effet, si l'on se reporte à la ^g. 49» ^t qu'on suppose le développement du cylindre effectué sur le plan tangent qui est le prolongement de l'élément superficiel ABB'A', on verra que si l'angle BMM' est à la fois plus petit que les angles B'M'M" et LKM , le côté M ' M" viendra tomber après le développement , au-dessous de TMr, taixdis que le côté MK restera au-dessus. Une inflexion contraire aurait lieu pareillement si l'angle BMM' était maximum; mais cet énoncé rentre dans l'autre, parce que la tangente forme avec l'arête un angle aigu et un angle obtus , dont le premier est minimum quand le second est maximum. Cette remarque intéressante est due à M. Th. Olivier.

rr4 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

De même si, après avoir exécuté en bois ou en pierre un cylindre droit, on voulait le terminer par un plan incliné , il faudrait construire , sur un carton flexible, le développement de ce cylindre avec la transformée â'aâde la section dont il s'agit; puis, découper ce carton le long de cette courbe, et le rouler ensuite sur le cylindre. Dans cet état, le bord du carton aurait repris la forme qui convient à la section plane demandée, et l'on pourrait tracer celle-ci sur le solide, en suivant avec un crayon le bord de ce carton. enroulé; de sorte que l'ouvrier, connaissant ainsi le contour de la partie du solide qu'il doit enlever, pourrait achever l'ouvrage avec toute la précision désirable. Nous rencontrerons des applications fréquentes de ce procédé dans la coupe des pierres et dans la charpente.

FiG 5q 228. Autre SOLUTION de Cintersection d'un cylindre droit par un fjlan.

Il peut arriver que quelque circonstance de la question, empêche de choisir le plan vertical de projection perpendiculaire au plan sécant; alors ce dernier aurait pour traces des droites quelconques PQ et QR', et le cylindre serait toujours représenté par sa base ABDC, et par les deux verticales UU', VV, qui forment son contour apparent sur les plans fixes. Dans ce cas, suivons la méthode générale du n" 210, et coupons le cylindre et le plan donné PQR' par divers plans horizontaux, tels que K'N'M'; ce dernier aura pour section dans le plan donné, une horizontale (K'M', RM), et pour section dans le cylindre, une courbe projetée sur sa base ABDG; par conséquent, les points M et N qui sont communs à ces deux sections auxiliaires sur le plan horizontal, étant projetés sur R'M', fourniront deux points (M , M') et (N , N') de l'intersection demandée. Les autres s'obtiendront d'une manière toute semblable, en menant à volonté des parallèles à la ligne de terre, comme A'I/, E'F',....

229. Mais il vaut mieux interpréter autrement ces constructions, en disant que l'on mène à volonté des plam auxiliaires qui soient verticaux et parallèles à la trace PQ, comme MNK. Alors, ce plan vertical coupera le plan PQR' suivant l'horizontale (KM, R'M'), et le cylindre suivant deux génératrices projetées sur XjN' et YM' ; donc la rencontre de ces dernières avec la ligne K'M' fournira deux points (M , M') et (N, N') de l'intersection demandée. Cette marche offrira l'avantage de pouvoir trouver directement certains points remarquables qu'il importe de construire préférablement à d'autres qui en seraient même trèsvoisins.

1°. Si l'on applique cette méthode à la recherche des points situés sur les arêtes (A, UU'), (D, VV), qui forment le contour apparent du cylindre sur le