CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. Iiy
PROBLÈME 2. Trouver les points de section dun plan quelconque PQR' avec une courbe dont les projections sont ABCDEF et A'B'G'D'E ' F'.
255. Ce problème rentre tout-à-fait dans le précédent ; car, si Ton imagine FiG. 62. le cylindre vertical qui projette la courbe donnée suivant ABCDEF, et que l'on construise , comme au n 228 , la projection verticale A"B"G"D"E" de l'intersection de ce cylindre avec le plan PQR' , il est clair que les points chercbés devront se trouver sur cette intersection; et comme ils sont aussi sur la courbe donnée, il n'y aura qu'à examiner si ces deux courbes se rencontrent quelque part sur le plan vertical. Ici elles ont trois points communs, I/, M', N', que l'on projettera sur le plan horizontal en L , M , N, et ce sont là aussi les points où le plan PQR' coupe la courbe proposée. Il est vrai qu'il existe un quatrième point de rencontre entre les projections verticales; mais on reconnaît aisément que ce point n'est pas commun aux deux courbes, parce qu'il tombe pour l'une sur l'arc CD, et pour l'autre sur l'arc DE.
Nons avons ponctué les arcs de la courfje qui sont au-dessous du plan , parce que nous regardons celui-ci comme existant réellement, afin de faire mieux ressortir la situation des diverses parties de la ligne à double courbure : mais il n'en est pas de même dans l'épure 69, où le plan sécant se trouve combiné avec une surface, et où nous avons dû, suivant la convention générale établie au n** 108, regarder ce plan comme enlevé, après avoir coupé le cylindre.
254. Dans le problème précédent et dans les questions analogues, on donne quelquefois à la courbe auxiliaire A"B"D ".... le nom de courbe de recherche ou courbe d'erreur, parce que les constructions que nous avons employées peuvent être présentées sous le point de vue suivant. Si le point inconnu, où la courbe proposée perce le plan PQR', était projeté en B que je prends au hasard sur la projection horizontale ABCD...., il faudrait qu'en menant par ce point, considéré comme appartenant au plan , une parallèle (BK, K'B") à la trace PQ, cette droite allât passer par le point (B, B') de la courbe; or cette parallèle me fournit B" au lieu de B' pour projection verticale du point B; par conséquent , 1 hypothèse d'où je suis parti est une erreur. En répétant un essai semblable sur le point G, je trouve une autre erreur en sens opposé, puisque j'obtiens une projection verticale G" située plus haut que G'; d'où je conclus que le véritable point cherché est entre B et G, et qu'en réitérant de pareils essais pour des positions intermédiaires, je finirais par tomber sur le point de section (M, M'). Mais, au lieu de chercher à obtenir immédiatement ce point précis par des tâtonnements multipliés, il est plus commode de construù-e un certain nombre de points quelconques de la courbe d'erreur; puis, de les réunir par un trait con-
I 1 8 LrVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.
tinu dont la rencontre avec la courbe proposée fournira le point demandé
PROBLÈME 5. Étant donné un cylindre oblique à base quelconque, trouver 1° les projections de la SECTION DROITE de ce cylindre; 2° le rabattement de cette section ; 3° le développement de la surface et la transformée de la courbe qui servait de base ; avec les tangentes à ces diverses courbes. FiG. 6o. 235. Soit ABGD la base du cylindre que nous supposons plane, et dont nous adoptons le plan pour plan horizontal de projection; soit d'ailleurs (EE", E'E'") la direction des génératrices. Alors, en menant à la base les tangentes BB" et DD" parallèles à EE", ce seront les traces de deux plans tangents verticaux, et par conséquent ces droites formeront le contour apparent du cylindre sur le plan horizontal (n° 11' 6); tandis que les tangentes EE' et FF', perpendiculaires à la ligne de terre, fourniront, pour le contour apparent sur le plan vertical, les génératrices E'E ' et F' F", qui ne sont autre chose que les traces de deux plans tangents perpendiculaires au plan vertical. Nous supposons d'ailleurs que le cylindre est terminé et yermé par deux plans horizontaux E'F' et E"'F"', ce qui
rendra invisibles sur le plan horizontal les arêtes GG", FF", et manifestera
d'une manière plus sensible la situation de ces arêtes inférieures. Pour mieux accuser aussi la forme de la surface, nous regarderons toutes les arêtes que nous aurons besoin d'employer, non comme des lignes auxiliaires, mais comme des génératrices *(\\i\.., marquées en traits pleins ou ponctués, feront discerner les parties supérieures ou antérieures d'avec les parties opposées de la surface.
236. Gela posé, puisque la section droite ou section orthogonale d'un cylindre, est la courbe tracée sur cette surface par un plan sécant perpendiculaire aux génératrices , et que d'ailleurs toutes les sections parallèles faites dans un cylindre sont identiques, menons, par un point quelconque Q de la ligne de terre, les traces PQ et QR' respectivement perpendiculaires aux projections des génératrices, et cherchons l'intersection de la surface avec le plan PQR'. Pour obtenir cette intersection, nous couperons les deux surfaces par divers plans auxiliaires qui soient tous verticaux et parallèles aux arêtes du cylindre, parce qu'ainsi nous n'aurons à combiner que des sections rectilignes; d'ailleurs, afin de simplifier l'opération ultérieure du développement , il sera bon de conduire ces plans par des points de la base, qui soient deux à deux sur des cordes GM, EL ,... parallèles à la trace PQ. Toutes ces dispositions étant admises, nous pouvons opérer de deux manières.
237. Première méthode. Soient GKI etlT les traces d'un plan sécant vertical :
