CHAPITRE II. —DES SECTIONS PLANES. liy

elles rencontrent celles du plan PQR' aux points K et T; par conséquent, Tin» tersection de ces deux plans est la droite (GI, l'K'); mais, comme il importe de déterminer cette ligne avec une grande exactitude , attendu que pour les autres plans auxiliaires il nous suffira évidemment de mener des parallèles à l'K', nous allons construire un troisième point de cette droite. Cherchons, par exemple, celui qui est projeté en S; et pour cela, imaginons par ce point une horizontale parallèle à la trace PQ. Cette parallèle , qui sera nécessairement contenue dans le plan PQR', aura pour projection horizontale SR , et elle ira percer le plan vertical en R'; donc R'S', parallèle à la ligne de terre, est sa projection verticale ; et si Ton y rapporte le point S en S', ce dernier devra appartenir à la droite l'R'S'.

D'ailleurs, le même plan auxiliaire GKI a dû couper le cylindre suivant deux arêtes dont les pieds sont en G et H, et qui, par suite , sont projetées verticalement sur G'G" et H' H"'; par conséquent, la rencontre de ces deux droites avec la section K'S ' fournira deux points g' et h' de la projection verticale de la courhe demandée. Ensuite, on les projettera sur GHK en g et A, qui seront deux points de la projection horizontale de la même courbe.

Maintenant, considérons un autre plan sécant MNV. Il coupe le plan PQR' suivant une droite dont la trace est (V, V); et sans chercher d'autres points, nous sommes certains que cette section est Vm' parallèle à K'S'; puis, comme ce plan MNV coupe aussi le cylindre suivant les deux arêtes M'M'" et N'N'" qui rencontrent la droite \'m' en m' et n', ce sont là deux nouveaux points de la courbe cherchée, qu'il restera ensuite à projeter horizontalement sur MV en m et n. Le même procédé, appliqué à d'autres plans sécants, fournira ainsi les projections ambncd et a'm' b'n'c'd' de la section orthogonale du cylindre.

258. Deuxième méthode. Soit ACY un plan vertical parallèle aux arêtes du Fig. 60* cylindre : il coupe cette surface suivant deux génératrices partant des points A et C; et le plan PQR' suivant une droite qui part du point Y et se trouve perpendiculaire à ces génératrices; donc, si Ton rabat ce plan sécant autour de AY, en portant la hauteur Y'Z ' de Y en Z ", la droite AZ" et sa parallèle Ce" seront les positions nouvelles des génératrices, tandis que la perpendiculaire Yc"a" , abaissée sur ces lignes, fera connaître les rabattements a" et c" de deux points de la courbe cherchée. Ensuite, pour un autre plan sécant MNV, il suffira de mener Mm" etNn" parallèlement à AZ"; et la droite Vm " pai'allèle à Ya ",fournira encore les rabattements m" et n" de deux nouveaux points de la section droite du cylindre. D ailleurs, il deviendra superflu de tracer les projections de cette courbe, attendu que les rabattements ainsi obtenus suffiront, comme

2 o Livre iv. — intersections de surfaces.

on va le voir, pour construire la vraie grandeur de cette courbe, et pour effectuer le développement du cylindre , ce qui est le but principal du problème

actuel (*).

Néanmoins, si Ton veut déduire de là les projections de la section droite, il ny a qu'à rapporter les points a\ c", m", n'\ en a,c, m, n, par des perpendiculaires à la charnière AY; puis, projeter ces derniers points en a', c',

m', n\ sur les projections verticales des génératrices correspondantes.

FiG. 60. 239. Il est des points remarquables qu'il faut construire préférablement à d'autres qui en seraient même très-voisins; et l'on fera bien de commencer parlà l'exécution de l'épure.

1°. Si l'on applique l'une des deux méthodes précédentes aux arêtes BB" et DD'' qui forment le contour apparent sur le plan horizontal, on trouvera les points Q), h') et {d, d'), dans lesquels la courbe devra toucher les arêtes en ques*tion , mais seulement en projection horizontale. En effet, quoique dans l'espace la tangente de cette courbe et l'arête du cylindre soient très-distinctes l'une de l'autre, puisqu'ici elles sont perpendiculaires, néanmoins ces droites se trouvant situées toutes deux dans le plan tangent qui est évidemment vertical pour le point (b , //), il s'ensuit qu'elles doivent coïncider en projection horizontale; donc, la tangente se trouve ici projetée sur BB"; et par conséquent (n** 102) cette ligne doit toucher la projection horizontale de la courbe.

Observons, d'ailleurs, que les points b et d étant situés sur le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal, ils formeront les limites qui séparent la branche visible bad de la branche invisible bcd, pour l'observateur qui considère cette projection.

2°. En appliquant aussi le procédé général à la recherche des points situés sur les arêtes E'E'" et F' F'", qui forment le contour apparent sur le plan vertical, on obtiendra les points (e, e') et {/■,/')-, dans lesquels la projection verticale de la courbe sera touchée par ces droites. Ce contact résulte encore de ce que la tangente de la courbe dans l'espace et l'arête du cylindre , sont toutes deux dans un plan tangent qui se trouve ici perpendiculaire au plan vertical; et par

(*) Cette méthode ingénieuse qui est due à M. Th. Olivier, revient à choisir le plan vertical de projection parallèle aux arêtes du cylindre, et elle offre des avantages qui deviendront sensibles dans les opérations des n°* 24i et 245. Cependant, s'il s'agissait d'obtenir l'intersection d'un cylindre oblique par un plan quelconque non perpendiculaire î^ux génératrices, il vaudrait mieux suivre la première méthode ; c'est pourquoi nous l'avons conservée ici, afin de montrer comment on devrait agir dans un pareil cas.