BIT DE I.A GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. — MÉTHODE DES PROJECTIONS

Solutions graphiques.

i. En mathématiques les problèmes d'application peuvent être résolus par des constructions graphiques ou par des calculs numériques. 11 est généralement facile de reconnaître, d'après la nature de la question, quel est celui des deux modes de solution qui doit être préféré -/ce n'est que dans des cas assez rares que l'on peut employer indifféremment l'un ou l'autre.\

Dans les problèmes de géométrie plane, les lignes et les points pouvant être tous placés sur une feuille de dessin, des constructions graphiques sont aisément applicables, et les difficultés que l'on rencontre sont spéciales aux questions que l'on examine. Mais quand on considère des corps, ou bien des lignes qui ne sont pas toutes dans un même plan, il faudrait faire des tracés dans l'espace. Cela n'est pas absolument impossible, et on trouve dans quelques arts des exemples de celte manière d'opérer; mais ce sont des exceptions, et on peut dire qu'en général, pour qu'une question puisse être résolue graphiquement, il est nécessaire qu on puisse la ramener à un problème de géométrie plane. Il faut donc une méthode qui permette de représenter sur un plan, sans indétermination, des ligures situées, dans l'espace, et de résoudre par des tracés sur le plan les problèmes que l'on peut se proposer sur ces figures.

Aperçu de la méthode.

'i. Si l'on veut représenter une maison, on en dessinera la façade (fig. i). Les I. i

a LIVIlfc i". — DES UG1SKS DHOITES ET DES PLANS.

lignes des croisées sont sur un même plan vertical et peuvent être tracées sans difficulté. Quant aux points qui ne sont pas sur ce plan, on les y ramène par des perpendiculaires : les extrémités du faite sont ainsi représentées aux pieds a' et b' des perpendiculaires abaissées de ces points sur le plan de la façade.

La figure i donne une idée de lu maison, elle en fait counaitre les dimensions en longueur et en hauteur, mais elle n'indique ni la saillie du perron, ni la profondeur de l'édifice.

5. On peut, d'après les mêmes principes, représenter la maison sur le sol considéré comme un plan horizontal. On obtient ainsi la figure a, où les divers points élevés au-dessus de terre sont indiqués par leurs projections, c'est-à-dire par les pieds des perpendiculaires abaissées des points sur le sol.

La figure 2 donne les dimensions en longueur et en largeur, mais elle ne fait pas connaître les hauteurs des différents points. Elle ne définit pas la maison plus complètement que la figure 1, mais elle fournit les dimensions perpendiculaires au plan de la façade que l'on ne trouvait pas sur celle-ci. Elle lève donc toutes les incertitudes qui restaient sur la forme extérieure de l'édifice.

•i. La figure 1 est appelée élévation et la figure a plan. Le plan et l'élévation sont deux figures distinctes et qui naturellement devraient être sur des feuilles différentes, l'une horizontale et l'autre verticale; mais on les place généralement sur une même feuille en regard l'une de l'autre et de manière que leurs diverses parties se correspondent. On peut supposer que la feuille est horizontale et que l'on a rabattu sur elle l'élévation qui était établie sur une autre feuille placée verticalement sur la ligne XY, en la faisant tourner autour de cette droite.

L'élévation ainsi placée couvre les allées du jardin et les autres parties du plan situées au delà de la ligne XY ; on les trace en trait plus léger ou en lignes ponctuées. On représente également par des lignes légères ou ponctuées les fondations et toutes les parties de l'élévation qui sont recouvertes par le sol et le plan de la maison.

On dispose généralement les dessins de manière que les parties importantes du plan et de l'élévation ne soient pas recouvertes. Nous parlerons plus loin des figures 3 et 4.

Représentation des points, des droites et des plans sur deux plans coordonnés.

«">. Nous allons maintenant présenter les projections d'une manière abstraite.

La perpendiculaire Aa abaissée d'un point A \fig. 5) sur un plan fixe P est la projetante de ce point; son pied a est la projection du point. Tous les points de la projetante ont la même projection a sur le plan P.

Le point A peut être projeté sur un autre plan Q par une droite A a, perpendiculaire à ce plan. Le plan des deux projetantes A a et Aa, est perpendiculaire aux deux plans de projection, et par suite à leur intersection XY, que l'on appelle