POINTS ET LIGNES DE CONSTRUCTION HORS DU CADRE DE L ÉI'LHE

Réduction d'échelle.

(io. Le but de la Géométrie descriptive étant de résoudre des problèmes d'application, il est nécessaire que les tracés soient appuyés sur des lignes et des points situés dans le cadre de l'épure. Lorsqu'un point utile se trouve éloigné, on ne doit pas aller le chercher sur une seconde feuille placée près de la première. Cet artifice ne présente jamais d'exactitude, et serait d'ailleurs impossible dans les applications sérieuses, par exemple en Stéréotomie, où l'on opère sur des aires limitées.

Nous avons déjà indiqué, pour lever cette difficulté, divers procédés spéciaux a quelques problèmes; à l'article -49 nous avons exposé une construction qui est souvent employée, celle du déplacement de la ligne de terre ; il nous reste à traiter la question d'une manière générale, et à faire connaître quelques tracés utiles.

66. On peut toujours, par une réduction d'échelle, faire rentrer les lignes et les points éloignés dans le cadre de l'épure. Lorsque le tracé est terminé, on reporte la solution sur la ligure primitive.

Supposons que par le point de rencontre éloigné des droites B et C Jig. 5ii on doive élever une perpendiculaire à B, et du point où elle coupe la droite A abaisser une perpendiculaire sur D.

ï j LIVRE l ,r . — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Il snftit il»! réduire les dimensions de la ligure au tiers pour en obtenir une Mitre \fîg-5i bis sur laquelle la construction puisse être faite. La droite cherchée e est ensuite reportée en E Jig. 5i ;. Les lignes des deux figures sont parallèles.

Nous avons construit une figure entièrement distincte de la première, mais généralement on prend un point de celle-ci pour centre commun de similitude, de manière à utiliser pour la seconde les droites qui y passent. Si l'on avait choisi le point M, les lignes B et I) eussent appartenu à la ligure réduite. Quand on connait un point de la droite cherchée, on doit le prendre pour centre de similitude; on trouve alors la ligne dans la position même qu'elle doit occuper.

Le compas de réduction est d'un usage très-commode pour la construction que nous venons d'indiquer. On ne doit employer cet instrument qu'avec beaucoup de soin quand il s'agit d'obtenir une fraction déterminée d'une longueur, mais ici la grandeur du rapport de réduction n'a aucune importance.

<»7. Quelques-unes des constructions que nous avons exposées dans le chapitre précédent pour des points éloignés, sont de véritables réductions d'échelle; ainsi à l'article '27 nous avons déterminé l'intersection de deux plans dont les traces horizontales ne se rencontrent pas sur la feuille de dessin, en diminuant dans un même rapport les lignes AH et /;S '.Jig. a3 }, de manière à obtenir un triangle rgs semblable à celui que forment les traces I» et Q avec la ligne de terre. Le centre de similitude est le point connu b de la droite cherchée.

Si les traces ne se rencontraient que très-loin sur les deux plans coordonnés, on pourrait prendre le point R pour centre de similitude fig. 5aj ; alors réduisant RS au cinquième, on transporterait le plan Q. Q' parallèlement à lui-même en <q,q' •> puis, après avoir obtenu l'intersection (a, a 7 ;, on la reporterait dans sa position en quintuplant les longueurs Kb et Rc.

Constructions diverses.

<>8. Tracer une droite qui /Hisse par un point donne, cl par le point éloigné où deux droites données se rencontrent.

Soient A le point. P et Q les droites ' fig. 53 ). Nous construisons le triangle ABC dont un sommet est au point A, et les deux autres sur les lignes données, puis nous traçons bc parallèle à BC, et par les points b et c nous menons des parallèles à BA et CA; leur point de concours a appartient à la droite cherchée, car les deux triangles étant semblables et semblablement placés, les droites qui passent par les points homologues concourent vers un même point qui est le centre de similitude fi).

1 1 Nous supposons que ce théorème est connu du lecteur ; il est du reste très-facile de le démontrer. Appelons I et J les points où la droite Ka rencontre les lignes P et Q ; If* triangles lai-, Jac respec-