CHAPITRE V. — SURFACES DE RÉVOLUTION. — PL. XXX

Il est facile de voir que la réciproque de la proposition que nous venons d'établir est vraie, et que la surface engendrée par la révolution d'une hyperbole quelconque autour de son axe non transverse admet deux systèmes de génératrices rectilignes.

203. La méridienne principale que nous venons de construire forme le contour apparent de la surface sur le plan vertical, et par suite les projections des génératrices lui sont toutes tangentes. Ainsi, si nous déterminons le point [v u v'joù la génératrice (t t r t , s\r\) rencontre le plan méridien principal, la droite s\r\ devra être tangente en ce point à l'hyperbole. Supposons maintenant que la ligne is t r t , s\r\) tourne sur la surface de manière que le point (r,, r\) se rapproche de (e, e'), le point de contact*', s'éloignera, et sera à l'infini quand la droite r,s, aura pris la position ea,. La droite a\ é est donc une tangente dont le point de contact s'est éloigné à l'infini, c'est-à-dire une asymptote. La projection horizontale de cette ligne cstOct, ; on voit qu'elle est parallèle aux deux génératrices (ea„ e'a\), [%b, e'a\) et dans le même plan qu'elles.

Par les mêmes raisons, la droite (Oa, e'a'.i, seconde asymptote de l'hyperbole méridienne, est parallèle aux génératrices (ea, éa'\, (sb,, n'a'), et dans le plan qu'elles déterminent.

204. Si nous supposons que l'on fasse tourner d'un même mouvement l'asymptote Oa et les génératrices parallèles ea et ib it ces droites resteront parallèles, et dans un même plan mobile avec elles; pendant que les deux dernières décriront la surface, la première, toujours asymptote de l'hyperbole méridienne dans les différentes positions, engendrera un cone dont le sommet sera au point (0, e'), qui est le centre du cercle de gorge, des hyperboles et de la surface.

Le plan {ab t , a'e'), tangent au point infiniment éloigné où les génératrices ea et tb, se rencontrent, est évidemment tangent au cône asymptote le long de la génératrice parallèle Oa.

Nous voyons donc :

i°. Que tout hyperboloïde de révolution est asymptote d'un cone également de révolution ;

j°. Que les génératrices de ce cone sont respectivement parallèles aux génératrices de la surface dans les deux systèmes;

Que les plans tangents au cone asymptote contiennent les génératrices de l'hyperboloïde parallèles à la génératrice de contact «lu cone, et sont tangents au point infiniment éloigné où ces droites se rencontrent.

Sections planes de ( hyperboloide de rémlution . I" ExttMH.it. - Ate vertical; section elliptique. [Planche XXX.)

205. L'axe de la surface est la verticale (0, CL' J \fig. 1 14 ) ; les projections de

UVRE II. - CYLINDRES, COSF.S ET SURFACES DE RÉVOLUTION. I i génératrice considérée dans sa position initiale, que nous supposons parallèle .m plan vertical, sont a L, a L' ; enfin les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien principal sont aR et a'O'.

!)«•> plans auxiliaires horizontaux B'/5', C ,'•/' coupent le plan donné suivant des

droites 77 t rhyperbnloide suivant des parallèles ifi8, 'ic-],... Les

points de rencontre des droites et des cercles situés dans les mêmes plans auxiliaires appartiennent à la courbe; on les obtient immédiatement sur le plan horizontal, et on les relève sur les lignes Wp, C 7 ', ... du plan vertical.

I.a tangente en un point i, Y passe par le point T, intersection de la trace Ry iiu plan sécant, avec la trace du plan tangent art. 199;.

!2<M». La droite OR. OR . intersection du plan sécant par le plan méridien qui lui est perpendiculaire, est un axe de la courbe dans l'espace; OR est également un axe de la projection horizontale; O R' est le diamètre de la projection verticale conjugué avec les cordes horizontales art. 193 j.

Les points 1. 1 et *>, 5' . OÙ l'axe OH, O R' rencontre la surface, sont deux sommets de l'intersection : nous allons nous proposer de les déterminer.

'207. Si nous supposons que la droite OR, O R tourne autour de l'axe, elle engendrera un cône droit qui aura pour trace le cercle RQP, et dont nous pourrons obtenir l'intersection avec la droite ;</L, a L '}. Pour cela, menons par le point O.O une parallèle ii cette ligne, et déterminons sa trace horizontale p : le plan passant par le sommet du cone et par la génératrice donnée iaL, a' L : aura pour trace horizontale ag, et coupera le cône suivant deux droites OP et OQ. La première rencontre la génératrice al. au point />, et si nous la Taisons tourner autour de l'axe jusqu'à ce qu'elle prenne la position OR, le point d'intersection /> décrira un parallèle commun aux deux surfaces, et se placera, en projection bon zontale. au point 1, que nous relevons en 1'.

L'autre droite OQ coupe la génératrice ah de l'hyperboloïde, au delà du sommet du cone, en un point <y, que l'on ramène en (5, 5'j.

Il importe de bien saisir l'esprit de l'artifice que nous venons d'employer. Nous devrions faire tourner la génératrice al., a'V ; jusqu'à ce qu'elle rencontrât la droite 1 OR, O R ; mais nous préférons l'aire mouvoir la seconde, qui décrit un cone. Les points d'intersection sont ainsi déterminés facilement, mais hors de leur position, et il faut les ramener sur la droite OR. O'R ).

€ 208. En construisant notre épure, nous avons déterminé tout d'abord les points 1. 1' et :">, V ; puis nous avons choisi des plans horizontaux auxiliaires disposes de manière à partager en parties égales la différence de hauteur des points 1' et 5'. Le plan passant par le milieu fi, I' de l'axe (1 .5, i'.5'} Tait connaître les sommets ^ i. i et 7. 7 du second !ixe. Nous savons que la courbe est une section conique : ••Ile a quatre sommets : c'est donc une ellipse. Nous avons les deux axes 1 . S et 3 .7 delà projection horizontale, et deux diamètres conjugués i'.5' et V. 7' de la pro-