CHAPITRE V. — SURFACES DE REVOLUTION. — Pl.. XXIX
la trace a' H' rencontre les horizontales j3'B", -/('" traces verticales des plans auxiliaires. Les sections de la surface sont des parallèles qui se projettent horizontalement en vraie grandeur. Les rencontres respectives des droites et des cercles donnent, sur le plan horizontal, les points 1, 2,3, ... qu'on relève sur les projections
verticales des parallèles en 1', a', 3'
193. On reconnaît par la construction même que l'intersection du plan donné avec le plan méridien qui lui est perpendiculaire est un axe de la courbe. La projection horizontale OR de celte droite est également un axe de la projection de la courbe. y Sur le plan vertical la droite O'R' rencontrant obliquement les cordes horizontales qu'elle partage en parties égales, est simplement un diamètre de la projection.
Pour avoir les points où le plan vertical OK rencontre l'intersection, nous le faisons tourner autour de l'axe, de manière à le rabattre sur le plan méridien principal. La droite (01, O'R') devient (OR,, O'R', ) et coupe la méridienne D',I?, aux points (m,, m\ ; et (n„ n\ ) qu'on ramène en 'm, m' \ et in, ri). A ces points, la tangente est horizontale, et par suite ses projections sont respectivement parallèles à R a et à la ligne de terre.
La tangente est également horizontale aux points (6, 6' ) et (' 1 3, 1 3' ) qui sont situés sur le parallèle supérieur, et qui, par conséquent, sont les plus élevés de la courbe.
194- . La tangente en un point quelconque (5, 5') de l'intersection, est contenue dans le plan tangent et dans le plan sécant. Si nous ramenons le point considéré dans le plan méridien principal par une rotation autour de l'axe, il se placera en (B, B') et nous pourrons tracer la tangente B'T' à la méridienne. Elle perce en JT, T'j le plan horizontal 17'. 2' que nous choisissons pour cette construction. Nous ramenons le point T en T, sur la droite 05, et la trace du plan tangent est la droite T,T,, perpendiculaire àOT,. La trace du plan sécant sur le plan horizontal choisi est 17.2. Le point de rencontre T, et le point T„ qui lui correspond sur l'horizontale 17'. 2', font connaître la tangente.
Nous avons opéré sur un plan horizontal plus élevé que celui qui nous a d'abord servi, pour maintenir les constructions dans le cadre de l'épure.
Par suite des symétries que nous avons établies, les tangentes aux points (5,5 ) et f 1 4 . 1 4') rencontrent la droite (RO.R'O') en un même point (K,K').
195. La projection horizontale de l'intersection touche les parallèles qui forment le contour apparent de la surface aux points 3 et 16 d'une part, 9 et 10 de l'autre.
La trace a' II' coupe la 'méridienne ET, D', aux points u'ctr'; la projection verticale de la courbe passe par ces points, et y est tangente à la méridienue, qui doit être considérée comme le contour apparent de la surface (art. 189). La projection traverse la méridienne entre les points 18' et 1'; mais cette rencontre ne correspond pas à un point commun dans l'espace.
La projection verticale de l'intersection parait se confondre, sur une petite longueur, avec la méridienne E l)'; mais en réalité elle la traverse seulement, et ces courbes ne se rencontrent même pas dans l'espace, comme on le voit par la projection horizontale (i).
191». La courbe se développe sur chaque plan de projection, sans que ses pointe se superposent deux à deux, et, par suite, il n'y a pas d'arcs parasites. Les deux projections admettent en conséquence des tangentes communes perpendiculaires à la ligne de terre ; il y en a quatre : chacune d'elles l'orme les deux projections d'une même tangente de l'intersection. On voit immédiatement la position approximative des points de contact de ces lignes : l'un d'eux est entre (4.4' j et ( 5.5'; ; mais on ne peut le déterminer d'une manière un peu précise que par une courbe d'erreur.
Après avoir tracé la tangente 4-'j au point 4t nous cherchons dans le cercle dont le rayon est 4'j la longueur \ .c du sinus de l'angle qu'elle fait avec une perpendiculaire à la ligne de terre. Nous déterminons ensuite, dans des cercles de même rayon, les sinus des angles analogues pour d'autres tangentes: on trouve pour celle du point 5 la ligne M/.
Ces longueurs sont ensuite portées sur les traces des différents plans auxiliaires, à partir d'une verticale /A, (fig. n3), à droite ou a gauche de cette ligne, suivant que sur le plan horizontal elles sout à droite ou à gauche des perpendiculaires t,c, T,A, ... à la ligne de terre. Quand ou a déterminé un nombre suffisant de points a , b , c, d' ', on les uuit par une courbe, et le point e' où elle coupe la verticale ).).,, fait connaître la hauteur du parallèle qui contient le point pour lequel l'angle analogue à bT t b' est nul. Par crainte de jeter un peu de confusion sur l'épure, nous n'avons pas fait les opérations pour déterminer les points de la courbe qui sont sur ce parallèle.
Les autres points de l'intersection où la tangente est perpendiculaire à la ligne de terre sont situés près de (17,17'), (i2,ia*J et [v, <t).
Principales propriétés de l'hyperboloide de résolution. (Pl. XXI III, fig. 1 II.)
197. Nous allons nous occuper de la surface engendrée par la révolution d'une droite autour d'un axe qu'elle ne rencontre pas; nous établirons tout d'abord celles de ses propriétés qui nous seront utiles pour les constructions.
' il Si la courbe d'intersection coupait deux fois la méridienne (EU, E'D 7 ) près le point (7,7'J, clic aurait sur le plan vertical, avec celle ligne qui forme contour apparent, deux points de contact analogues à «' cl v . Alors, en déplaçant le plan sécant, on pourrait réunir ces points, et les courbes Muipleincnt tangentes dans l'espace, auraient en projection un contact du troisième ordre.
ltien dans notre raisonnement n'est spécial aux surfaces de révolution; ainsi nous voyons que quand une courbe tracée sur une surface est tangente .1 son contour apparent, le contact s'èleve au troisième ordre sur le plan de projection.
CIIAPITÏIE V. — SURFACES OE REVOLUTION. — PL. XXVlll
L'axe est la verticale (0, OV ; ; ae et a' e' sont les projections de la génératrice dans sa position initiale, que nous supposons parallèle au plan vertical.
Un point quelconque [p*p', décrit un parallèle .qui se projette eu vraie graodeur sur le plan horizontal. La perpendiculaire abaissée du point (> sur ae donne la plus courte distance de l'axe à la génératrice, et le point (e, e') de cette droite étant le plus rapproché de l'axe, décrit le plus petit parallèle ou cerrlt ,U gorge. Toutes les génératrices sont à la même distance de l'axe; par suite, leurs projections horizontales se trouvent également éloignées du point O, et tangentes à la projection du cercle de gorge. Il est facile de voir qu'aucun point de la surface ne peut se projeter dans l'intérieur de ce cercle, qui présente ainsi le caractère géométrique de contour apparent, et doit être tangent, en projection horizontale, à toutes les lignes qu'il rencontre sur la surface, à moins que leui tangente au point de contact ne soit verticale.
Sur la ligure, nous avons limité la génératrice au plan horizontal de projection et au plan du cercle de gorge; mais elle doit être considérée comme indéfinie.
198. Prolongeons la droite ae jusqu'à sa seconde rencontre avec la trace de la surface en a,, relevons ce point en à, sur la ligne de terre, et traçons la droite a',t': les doux lignes {ae, a'e) et a, e, d l e > ) engendrent la même surlace dans leur révolution autour de l'axe, car on voit, par la symétrie delà figure, que deux points \ p, p"), i ' p,,p',) situés à la même hauteur décrivent exactement le même cercle.
Ces nouvelles génératrices rectilignes sont, comme les premières, à une distance de l'axe donnée par la ligne Oe; elles sont donc aussi tangentes au cercle de gorge, sur le plan horizontal, ce qu'il était facile de prévoir d'après ce que nous avons dit à l'article 197.
199. Supposons que l'on donne la projection horizontale m d'un point situe sur la surface, au-dessous du plan du cercle de gorge : en traçant la projection horizontale nmn, du parallèle qui passe par ce point, nous déterminerons sur les génératrices initiales des «deux systèmes les points [n, n'j et in,, n\ ) qui décrivent rp cercle, et nous ohtiendrons sa projection verticale n'n\, sur laquelle nous pourrons relever la projection m' du point.
Quand le point (n, n') vient en (m, m' ;, la projection ane de la première génératrice, toujours tangente au cercle de gorge, prend la position srnr, et l'on obtient la projection verticale correspondante j'oiï, en relevant. les points « et r. respectivement sur A' A', et F'G'. De même, quand le point in,, n\\ vient en (m, m'), la génératrice [a, n, e, a\ h\ ef) prend la position <s,mr,, s\m'r\). Il passe donc par le point {m, m') deux génératrices faciles à déterminer: elles sont leurs propres tangentes, et par suite le plan tangent de la surface au point m a pour traces ss, et rr, sur le plan horizontal de projection et sur celui du cercle de jjorge. Ces lignes sont perpendiculaires à la trace Om «lu plan méridien, connut nous savons que cela doit être ( art. 190).
Si le point de la surface projeté en m avait été au-dessus du plan du renie de gorge, on eût relevé n sur a\ e' en /»", et n, sur aé; les traces des génératrices projetées sur mr et mr, eussent été aux points de rencontre du cercle AA, avec ces droites prolongées au delà de r et de r,.
200. Si le point de contact m change de position en restant toujours sur la génératrice n, la droite ss t tournera autour du point s. Le plan tangent n'est donc pas le même aux divers points d'une génératrice rectiligne. ainsi que cela h lieu pour les cônes et les cylindres.
On remarquera encore que le plan tangent coupe la surface suivant les droites rs et r,*,. Nous avons déjà dit fart. 19i\ que le plan qui contient les tangentes à loutes les courbes qui se croisent sur une surface en un point, se présente quelquefois comme plan sécant.
201. Si nous supposons que l'horizontale (Oc, é) tourne de 180 degrés, en entraînant avec elle la génératrice !>«,, e'a\), cette ligne prendra la position ( ib,, e a' j, et elle sera évidemment parallèle à iea, c'a' J. Nous voyons donc qu'une génératrice du premier système est toujours parallèle à une génératrice du second.
Les génératrices parallèles ea et ib, déterminent le plan tangent à la surface au point infiniment éloigné où elles se rencontrent, comme rs et r,s, déterminent le plan tangenten m. Les traces de ce plan tangent* l'infini sont ab,, cOs et a' é sur le plan horizontal de projection, le plan du cercle de gorge et le plan vertical .
202. On construit la méridienne en relevant sur le plan vertical les points où les projections horizontales des différents parallèles rencontrent la droite AOA,, trace du méridien principal : ainsi P en P'.
On a
Ung'aV0'= Ci«
Ou déduit de cette équation
. , (/v P'f — rO
tang'a e 0' = — —, — ♦
en remarquant que les longueurs/»'/ et P'i sont égales au coté et à l'hypoténuse pO du triangle rectangle pOe.
L'angle oVO' et le rayon cO du cercle de gorge sont eonstanU; les longueurs éi et Pi peuvent être considérées comme les coordonnées du point quelconque P' de la méridienne : on voit d'après cela que cette courbe est une hyperbole. Cette circonstance a tait donnera la surface le nom d 1 ' hyperboloïde de révolution (1).
(1) En géométrie générale on considère deux hyperboloïde* de révolution : l'un h une nappe est relui dont nous non» occupons , l'autre à deux nappes est engendré par la révolution d'une hyperbole autour de ton axe transverse. Nous ne parlerons pas de ce dernier, qui n'est d'aucune utilité dans les arts graphiques.
