Discussion de la forme de la courbe de section

La courbe est toujours une section conique (i); il est intéressant de savoir comment on peut promptement reconnaître son espèce, d'après la manière dont les constructions se disposent.

La droite ag, trace horizontale du plan qui passe par la génératrice donnée et par le point (0, 0') où l'axe perce le plan sécant, peut couper le cercle PQ, trace du cône auxiliaire, le toucher ou ne pas le rencontrer : de là trois cas à examiner.

i°. La droite a g coupe le cercle PQ.

Si, comme cela a lieu sur la figure \ 1/4, la droite al, rencontre les génératrice OP et OQ du cône auxiliaire, l'une OP en un point p placé du côté du sommet O où est sa trace P, l'autre OQ en un point q situé sur son prolongement au delà de 0, les points i et 5 se trouveront de part et d'autre de l'axe, et la courbe sera une elKpse (a):

(i) Nous admettons le* principales propriétés des surfaces du second degré, etdu moment qu'il est prouvé que la surface engendrée par une droite qui tourne autour d'un axe qu'elle ne rencontre pas est un hyperboloïde, nous en concluons que ses sections planes sont des sections coniques; mais il serait très-facile de le prouver.

Un point tel que 8 est donné par l'intersection d'une droite a. 8 avec un cercle. La distance I laquelle la droite se trouve du point O est proportionnelle à l'abaissement du plan auxiliaire a'. 8' audessous de O'; le carré du rayon du cercle es» facile à trouver d'après les constantes du problème, et rabaissement du plan au-dessous de L' (art. 908). Ces indications suffisent pour montrer comment on peut trouver une relation entre les longueurs Oe et e8, que l'on peut considérer comme les coordonnées du point 8.

(a) Si l'on ne saisit pas immédiatement la justesse de cette conséquence,' on pourra supposer le plan sécant perpendiculaire au plan vertical (Jlg. 1 15). Les points i' et 5' seront alors les intersections du contour apparent avec la trace verticale S' du plan sécant, et ils limiteront, sur cette trace, I. 'I

8-i 1.IVUK If, — CYLINDRES, <;ONtS KT SURFACES DE RÉVOLUTION.

Si l;i génératrice al. esl parallèle à l'unr des lignes OP et OQ, un des deux sommets qui sont sur la ligne OR se trouvera à l'infini, et la courbe sera une parabole.

Enfin, si la génératrice al. rencontre les droites OP et OQ, toutes deux en deçà du point O, ou toutes deux prolongées au delà, les sommets i et :') se trou- \eront d'un inéine cote de l'axe, et la courbe sera une hyperbole.

a". La droite ag touche fe cercle PQ.

Le plan qui contient la génératrice al., et dont Og est la trace, louche le cone auxiliaire, et se trouve, par rapport à l'hy perboloide, dans une position identique a celle du plan sécant. Celui-ci contient donc une génératrice, et, connue la section est symétrique par rapport à OR, ou voit qu'une seconde droite appartenant à la surface s'y trouve également contenue : le plan est tangent a leur point de rencontre.

Dans le cas que nous examinons, les lignes OP et OQ sont confondues, et les deux sommets sont réunis en un point où se croisent les deux droites qui forment la section. (!e point disparaîtrait à l'infini, et les droites seraient parallèles, si la ligne sur laquelle OP et OQ >c réunissent était parallèle à la génératrice al..

3". La droite ag ne rencontre /tas le cercle PQ.

Dans ce cas, la ligne OR est un axe sans sommets, un axe non transverse, el par suite la courbe est une hyperbole. Nous allons examiner ce cas, qui nous' donnera une occasion d'étudier directement la question des branches infinies et des asymptotes.

ll r KxmrLF — Ut r, rv,„l; tr< fort hr/'rri'ohqur. ( Planche XXXI.)

211. 1,'axe de la surface est la verticale [O, O'O"; la génératrice considérée dans sa position initiale parallèle au plan vertical est af, a'/' ; enfin les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien principal sont R« et O a .

Nous déterminons comme précédemment l'axe OR, O R' i de la courbe, el nous cherchons les points où il coupe la surface art. 207,). Nous trouvons que le cercle décrit du point O comme centre, avec OR par rayon, trace du cone auxiliaire, ne rencontre pas la droite a«. trace du plan qui passe par le sommet du cône el qui contient la génératrice af, àf ,. Nous en concluons que l'axe (OR, CVR'j est non transverse, et que l'intersection est une hyperbole art. 210).

212. l a considération du cone asymptote va nous conduire à la même consé-

la projwtion Je la courbe. Quand ils seront de côté» différents de luxe, comme cela a lieu sur la trace S', l'intersection -m projettera »ur la longueur i' 5', et sera nécessairement une ellipse. S'il» se trouvent d'un même cote de l'axe, comme sur la Iran- S", le serment étant en dehors du

contour apparent sera parasite, cl se» prolongements a l'infini formeront la projection de la courbe, qui sera évidemment une hyperbole.

CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS l>E SURFACES COURBES. 8'> quence, et aura d'ailleurs l'avantage de nous faire trouver les asymptotes de la courbe.

Pour que l'intersection ait un point à l'infini, il faut que le plan sécant soit parallèle à la génératrice iaa,, a'a\ \ dans l'une de ses positions, et par suite à une génératrire du cône asymptote art. 201 1.

La trace a, r d'un plan parallèle au plan sécant et passant par le sommet ()./ de ce cône, coupe sa trace a n rrn en deux points m et rj les génératrices Or et (I»* sont donc parallèles au plan sécant, et, par suite, l'intersection a deux points à l'intini. Si la droite v.,r avait été tangente à la trace du cône asymptote, la courbe aurait eu un seul pointa l'infini : elle n'en aurait pas eu si la droite n'avait pas rencontré Ip'cercle.

Il est facile de déterminer la position r,s, de la génératrice ««,, quanti elle est devenue parallèle à Or. Le plan tancent à l'hyperboloide au point de cette droite situé à l'infini contient la génératrice î,r a , qui, dans l'autre système, est parallèle à Or, et a pour trace la droite r,rr, art. 201 i. L'asymptote, étant dans ce plan et dans le plan sécant, passe par le point où les (rares se coupent : c'est la droitr

W») parallèle a (r,*„ r>',.i.

. On trouve de la même manière uni autre asymptote n, /n s , n^m'^i parallèle à la génératrice du cone projetée sur O/w. Ces deux asymptotes se coupent en un point I, Y de l'axe 'OK, OR.

On détermine la courbe par points, comme précédemment; elle doit être tanpente au cercle de gorge en projection horizontale, et à l'hy perbole méridienne en projection verticale. Si l'on veut avoir l'axe transverse, il faut faire passer un plan horizontal par le centre fl, I').