INTERJECTIONS DE SURFACES COURBES

Courbes souches.

213. La tangente d'une courbe gauche en un point est, ainsi que la tangente d'une courbe plane, la limite des positions d'une sécante qui passe par ce point, el dont un second point d'intersection avec la courbe se rapproche indéfiniment du premier.

Nous avons démontré fart. 108; que les courbes planes que l'on peut tracer sur une surface par un même point, ont leurs tangentes, en ce point, dans un plan. Pour étendre la démonstration au cas des courbes gauches, il suffit de supposer que la ligne A ; fis- 77 1 appartienne à un système de génératrices tel que deux de ces lignes, dans des positions consécutives, ne se coupent pas-.

8' 4 LIVRE II. — CYLINDRES, CONES ET Sl.RFACES DE HÉVOLLTION.

Le théorème relatif à la projection des tangentes art. H6) peut ensuite être étendu sans diflieulté aux courbes gauches.

2I-i. Considérons une droite TT' tangente d'une courbe gauche A en un point M fig. 117;, et faisons passer un plan Q par cette droite et par un autre point N de la courbe : si le point N se meut de manière à occuper sur la ligne A différentes positions N', M, N le plan Q tournera autour de la tangente; il sera oscillateur de la courbe en M, lorsque le point de section N s'y trouvera réuui au point de contact.

En général, une courbe ne traverse pas sa tangente, et. par suite, dans la partie voisine du point de contact, elle est entièrement d'un même coté de tout plan (.» qui contient cette droite. I.e plan serait cependant traversé si le point N où il coupe la courbe était réuni au point de tangence M. c'est-à-dire s'il était oscillateur.

Il peut arriver qu'un plan oscillateur ne traverse pas la courbe. Supposons que le plan Q, mené par la tangente TT' et par un point N de la courbe, la coupe en un autre point Y [fig. 118), et que les deux points de section se réunissent au point M pour une certaine position du plan : toute la partie de la courbe située entre N et et P aura disparu, et il ne restera que les parties qui sont au delà de ces points d'un même coté du plan. Si le plan 0 continuait à tourner, il n'aurait plus que le point .M de commun avec la ligne courbe AA. Le contact de celte ligne avec son plan oscillateur en M est plus intime que dans le cas général examiné précédemment, car deux points de section se sont réunis au point de tangence.

Cette circonstance se présente notamment quand une courbe tracée sur un cylindre ou sur un rone est tangente à une génératrice TT'. Tous les points tels que N et I* se trouvent alors deux à deux sur des génératrices.

21.*». Supposons qu'un cercle soit déterminé dans le plan Q par les conditions de toucher la droite TT' au point M, et de passer par le point WJig. 1 17J. Quand le plan tourne, le cercle se modifie, et lorsque le point N est réuni au point M, son contact avec la courbe s'est élevé d'un degré; il est alors oscillateur. Le plan qui le contient est devenu osculaleur en même temps.

Le cercle que nous considérons sur le plan mobile Q est tangent en M à la projection de la courbe sur ce plan, et rencontre la même projection en N. On voit d'après cela que le cercle osculateur de la courbe est également osculaleur de sa projection sur le plan osculaleur.

L'nc courbe gauche a une inflexion ou un rebroussement en un point quand sa projection sur son plan oscillateur en ce point a elle-même une inflexion ou un rebroussement.

216. S/ la directrice d'un cône est une courlte gauche, et qu'en un point M de cette ligne la génératrice G lui soit tangente ; Jig. 1 ic, : , le plan osculateur de la courbe en ce point sera tangent au cône.

Pour prouver ce théorème, considérons le plan qui passe par G et par une autre