CHAPITRE I". — PtnSPECTIVE AXONOMKTRIQUE

deux des axes ont des inclinaisons égales; le troisième fait alors en projection des angles égaux avec les deux autres, et deux des quatre échelles deviennent identiques. Ces circonstances apportent quelques simplifications.

Les axes également inclinés peuvent être l'un vertical et l'autre horizontal, ou tous les deux horizontaux. De là résultent deux dispositions différentes en apparence pour la perspective monodimétrique.

Les figures géométrales sont des perspectives monodiinétriqucs, dans lesquelles les angles égaux a et b ou a et c sont nuls.

Perspective isométrique.

307. La perspective est isométrique quand les trois directions principales ont des inclinaisons égales sur le plan de projection. L'équation des cosinus donnée à l'article 294 devient alors

cosc=y/|» d'où sinc = y/~-

Traçons un triangle rectangle isocèle BAD (ftg. 176), portons l'hypoténuse BD de A en C, et traçons CB : les trois côtés du triangle BCA sont proportionnels aux racines carrées des nombres 3, a et 1, et l'angle ACB est égal à l'angle que les trois axes font avec le plan de projection.

508. On appelle droites isométriques celles qui sont parallèle» à l'un quelconque des axes, et plans isométriques ceux qui sont parallèles à deux axes.

Les longueurs des droites isométriques sont mesurées à une même échelle, que l'on appelle échelle isométrique. On la considère comme l'échelle du dessin; ainsi une perspective est dite au centième, quand une longueur d'un mètre parallèle à l'une des trois directions principales est représentée par une ligne d'un centimètre. Il faut concevoir qu'avant de projeter l'objet, on altère ses dimensions linéaires dans le rapport de ioocosc à 1, de manière que la projection réduisant les droites isométriques dans le rapport de 1 à cosc, elles se trouvent en définitive amenées au centième de leur grandeur.

D'après cela, une sphère de 1 mètre de rayon serait représentée par un cercle

dont le rayon aurait une longueur donnée par l'expression — y/-- On mesurerait immédiatement ce rayon à l'échelle des vraies grandeurs dont nous donnons la construction à l'article suivant.

309. L'égalité des angles a, b,c{fig. i 7 5) entraîne celle des longueurs SA, SB, SC, et par suite celle des angles ySs, zSx, xSy: ces derniers angles sont donc de 1 30 degrés [ftg. 178).

Considérons une ellipse adbc projection d'un cercle situé dans un plan isométrique parallèle à Sx et Sz. Les axes cd et ab doivent être, l'un parallèle, l'autre I. '6

laa livre iv. - perspectives axonométriquê et cavalière. perpendiculaire à la troisième direction isométrique Sv (art. 299). Il y a deux diamètres isométriques pq el rrm respectivement parallèles à Sjt et à S:: ils sont nécessairement égaux et de plus conjugués comme projections de deux diamètres rectangulaires du cercle.

Vous aurons, en appelant R le rayon du cercle,

o/>=3R, pq = mn = aRcosc, crf=2Rsinc.

D'après les valeurs de cosc et de sin c, nous voyons que le grand axe, les diamètres isométriques et le petit axe sont proportionnels aux racines carrées des nombres i, j et i . Celle relation permet de déterminer facilement la grandeur que l'on doit donner aux axes d'une ellipse isométrique : c est ainsi qu'on appelle une ellipse projection d'un cercle situé dans un plan isométrique.

Traçons deux droites CF et Cf. Jig. 177,1 respectivement parallèles à CA et CB i Jig. 17G , et établissons l'échelle isométrique sur CF : si le rayon du cercle que nous mettons en perspective a une grandeur de i m ,5o, nous mesurerons celte longueur sur l'échelle CF de C en M, et élevant la perpendiculaire MN, les droites CN el NM seront le demi grand axe et le demi petit axe de l'ellipse.

En marquant sur la droite CG fig. 177; des points de division qui se projettent exactement sur ceux de CF, nous aurons une échelle sur laquelle on pourra mesurer directement la longueur du grand axe de l'ellipse. Cette échelle est celle des vraies grandeurs, c'est-à-dire des droites parallèles au plan de projection.

510. Les ellipses isométriques sont semblables, el par suite on peut construire un rapporteur qui permette de les diviser en arcs égaux, ce qui est utile dans diverses circonstances, principalement pour dessiner des roues dentées et des colonnes cannelées.

On commence par tracer sous un angle de 1 20 degrés les demi-diamètres isométriques [fig, 1 79 j , on leur donne une longueur arbitraire qui, sur notre figure, est de S centimètres, et, portant cette longueur sur la droite CF {Jig. 177), on obtient le demi grand axe et le demi petit axe de la demi-ellipse qui doit former le rapporteur. On décrit sur le grand axe un demi-cercle, on le divise en parties «■gales, et, supposant qu'il soit relevé en tournant autour de sou diamètre jusqu'à ce qu'il se projette sur la demi-ellipse, on ramène les points de division sur cette courbe.

On peut aussi diviser le rapporteur à l'aide d'un quart de cercle décrit sur le demi petit axe comme rayon : cette méthode donne plus d'exactitude pour les divisions extrêmes.

Lorsqu'on emploie le rapporteur, il faut que le petit axe de l'ellipse soit parallèle à la projection de celui des axes coordonnés qui est perpendiculaire au plan isométrique dans lequel se trouve le cercle que l'on considère. Le rapporteur dans la