Inscrire un carré dans un triangle. — Discussion

228. Inscrire dans un rectangle donné un rectangle semblable à un autre rectangle donné. — Discussion.

229. Un angle AOB, tournant autour de son sommet 0, intercepte sur les côtés d'un angle fixe, supplémentaire du premier, une corde AB : trouver le lieu des points qui divisent cette corde dans un rapport donné.

230. a, b, c, désignant les longueurs des trois côtés d*un triangle; p, q, r, celles des trois hauteurs ; x, jr, «, les côtés des trois carrés inscrits; x'j y, z\ les côtés des trois carrés ex-inscrits ; démontrer les relations

X p a X 1 ^' ^ '* '"' i i 1 II I i i I

23i . Dans tout triangle, la distance du centre du cercle circonscrit à .l'un des côtés est égale à la moitié de la droite qui joint le sommet opposé au point de concours des hauteurs.

232. Sur la base BC d'un triangle ABG, on décrit extérieurement au triangle un carré BGDE ; on mène les droites AD et AE qui coupent BG en P et Q : démontrer que PQ est égal au côté du carré inscrit dans le triangle ABG et reposant sur BG.

233. Dans tout triangle ABG, le produit des distances des points B et G à la bissectrice de Tangle intérieur A, est égal au produit do la bissectrice de l'angle extérieur supplémentaire par la distance du milieu de BG à la première bissectrice ; de môme, le produit des dislances des points B et G à la bissectrice do Tangle extérieur A est égal an produit de la bissectrice de l'angle intérieur supplémentaire par la distance du milieu de BG à la première bissectrice.

234. La distance d'un point M d'une circonférence à une corde quelconque est la moyenne proportionnelle des distances du même point aux tangentes menées par les extrémités de la corde considérée.

235. Le produit des dislances d'un point quelconque d'une circonférence à deux côtés opposés d'un quadrilatère inscrit danscetle circonférence, est égal au produit des distances du même point aux deux autres côtés, {^oir 351.)

236. Si, des trois sommets d'un triangle et du point de rencontre de ses médianes, on abaisse des perpendiculaires sur un axe quelconque, la dernière perpendiculaire est la moyenne arithmétique des trois premières.

237. Étant donnés deux triangles et un point, mener par ce point une droite telle, que les sommes respectives des distances des sommets des

deux triangles à cette droite soient dans un rapport donné —

§ rV, — Relations métriques entre tes différentes parties d'un triangle,

238. Si, du milieu d'un 'des côtés d'un triangle rectangle, on abaisse une perpendiculaire sur l'hypoténuse, là différence des carrés des segments déterminés sur l'hypoténuse est égale au carré de l'autre côté du triangle.

239. Soit l'angle droit AOB placé au centre de la circonférence OA. D'un point quelconque G pris sur l'arc AB, on abaisse sur OAou sur OB la perpendiculaire CD, qui rencontre en E le rayon, bissectrice de l'angle AOB : démontrer la relation

cd' -^ de' = oa'

pers

240. Si, d'un point pris dans le plan d'un polygone, on abaisse desper pendiculaires sur tous ses côtés, les deux sommes des carrés des segmeni ainsi déterminés, pris alternativement, sont égales.

241 . Étant donné un cercle 0, on décrit un demi-cercle sur l'un de ses rayons OA, et l'on mène à ce rayon une perpendiculaire CDE qui coupe le cercle 0 en D et le demi-cercle OA en E : démontrer la relation

ad'= 2Ae\

242. Dans tout quadrilatère, la somme des cafrés des diagonales est le double de la somme des carrés des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

36o GÉOMÉTRIE PLAIVE.

%i3. Soit G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC; démontrer la relation

ÂbV ÂcV BC = 3 (ÂG + »& V Cg' ).

-;- En déduire le rapport de la somme des carrés des côtés d'un triangle à la somme des carrés de ses médiane^.

24 i. Soient G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC, et M un point quelconque pris dans son plan ; démontrer la relation

mâVmbVmc'= âgVbgV œVsMG'.

245. Étant donné un triangle ABC, trouver le lieu des points dont la somme des carrés des dislances aux trois sommets du triangle est constante et égale à un carré donné X'.

246. La somme des carrés de deux côtés d'un quadrilatère, plus la somme des carrés des diagonales, est égale à la somme des carrés des deux autres côtes, plus quatre fois le carré de la ligne qui joint les milieux de ces côtés.

217. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le produit des bases.

248. Si l'on prend deux points à égale distance du centre sur le diamètre d'un cercle, la somme des carrés des distances d'un point de la circonférence à ces deux points est constante.

249. Dans tout triangle ABC, le produit des distances des points B etC à la bissectrice de Tangle intérieur A est égal au carré de la moitié deBC, diminué du carré de la demi-différence des côtés AB et AC; de même> le produit des distances des points B et C à la bissectrice de l'angle extérieur A est égal au carré de la demi^omme des côtés AB et AC, diminué du carré de la moitié de BC.

250. Le sommet A d'un rectangle ABCD est fixe, les sommets B et D se meuvent sur un même cercle ; quel est le lieu du sommet C opposé au sommet A?

231 . Trouver le lieu des points qui partagent les diverses cordes d'un cercle donné en deux segments (additifs ou soustractifs)dont le produit soit constant.

252. Étant donnés un cercle 0 et un point P, trouver le lieu des points M tels, que la distance MP soit égale à la tangente menée du point M au cercle 0.

253. ^ et c étant les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et h

la hauteur qui correspond à Thypoténuse, démontrer la relation

254. a, b, c, étant les côtés d*un triangle rectangle en A, et h la hauteur qui correspond à Thypoténuse /?, le triangle qui a pour côtés ^ -|-c, h eia-\-h, est aussi rectangle.

253. Si un triangle équilatéral a ses sommets respectivement situés sur trois droites parallèles, et si b et c sont les distance^s de la parallèle intermédiaire aux deux autres, le côté du triangle a pour expression ,

IP -{-bc + i

256. Dans tout trapèze, la différence des carrés des diagonales est à la différence des carrés des côtés non parallèles comme la somme des côtés parallèles est à leur différence.

257. Calculer les diagonales d'un trapèze, connaissant ses quatre côtés.

258. ABCD est un quadrilatère, E le milieu de la droite qui unit les milieux des diagonales ; si du point E comme centre on décrit un cercle, montrer que la somme des carrés des dislances d'un point P de ce cercle aux quatre sommets A, B, C, D, est constante et égale à la somme des carrés des distances du centre E aux mêmes sommets, plus quatre

foisÊp\

259. Une corde PAQ coupe en A le diamètre d'un cercle sous un angle

de 45 degrés , démontrer que AP H- AQ est égale à deux fois le carré du rayon.

260. Si deux cordes se cAipent dans un cercle, la différence de leurs carrés est égale à la difîérence des carrés dos différences de leurs segments.

261. Si Ton prend un point dans Tin térieur d'un rectangle, les sommes des carrés des distances de ce point à deux sommets opposés sont égales.

262. Si l'on mène une tangente à un cercle, la partie de cette tangente interceptée par les tangentes menées aux extrémités d'un même diamètre, est divisée au point de contact en deux segments dont le produit est égal au carré du rayon.

263. Si, autour de deux points A et B d'une circonférence, on fait tourner les côtés d'un angle droit M, et que du point N où le côlé BM coupe la circonférence on abaisse la perpendiculaire NP sur le diamètre A A',