LIVRE IV. — LES AIBBS. 3 II

pendiculaire au premier; dans cette position, la hauteur est maximum, et par suite l'aire Test aussi.

474. Entre tous les triangles dont la somme de deux côtés est donnée^ celui élans lequel ces deux côtés sont à la fois égaux et à angle droit est un maximum,

£n effet, que Ton répartisse comme on voudra la somme donnée sur les deux cdtés, le triangle maximum sera toujours celui dans lequel ces deux côtés seront perpendiculaires entre eux ; il ne reste donc plus qu'à comparer les triangles rectangles dont la somme des côlés de Tangle droit est constante. Considérons donc un de ces triangles rectangles P et sur son hypoténuse construisons un triangle isocèle Q dont les côtés égaux aient la même somme que les côtés de l'angle droit de P ; enfin, désignons par R le triangle isocèle dont les côtés égaux auraient la même longueur que ceux de Q et seraient de plus à angle droit; on aura, par ce qui précède, P < Q et 0 < R ; il en résulte donc R > P.

THÉORÈME

475. Entre toutes les figures planes isopérimêtres, le cercle est un maximun (fig. a66).

Fiç. a66.

L'aire d'une figure de périmètre donné peut évidemment devenir aussi petite qu'on veut ; mais elle ne peut grandir indéfiniment, puisque cette figure reste forcément comprise dans l'intérieur du cercle décrit d'un point de son contour comme centre avec un rayon égal à la moitié du périmètre donné. Entre toutes les figures planes isopérimètres, il y a donc une figure maximum, ou plusieurs figures maximums de différentes formes et do môme aire.

D'ailleurs, toute figure maximum de périmètre donné est convexe, sans quoi on pourrait agrandir son aire sans changer la longueur de son contour.

Cela posé, soit EFGH une figure maximum ayant le périmètre donné. A tout point A pris à volonté sur son contour répond un autre point B de ce contour, tel que la droite AB divise le périmètre en deux parties égales. Les aires AEFB, AHGB, devront èlre égales, sans quoi, en remplaçant la plus petite d'entre elles par Id figure symétrique par rapport à

âB, on obtiendrait une figure totale de même périmètre que la première et d*aire plus grande, de sorte que la première figure ne serait pas un maximum comme on l'a supposé.

Il résulte de là que, si dans une figure maximum EFGH de périmètre donné, on remplace la partie au-dessous de AB par une partie symétrique de celle qui est au-dessus de cette droite, la nouvelle figure totale sera encore une des figures maximums.

Raisonnons actuellement sur cette nouvelle figure ; en d'autres termes admettons que la partie ÀHGB soit symétrique de AEFB par rapport à AB. Soit G un point quelconque du contour AEFB ; prenons son symétrique D par rapport à AB et menons GA, AD, DB, BC. L'angle AGB sera droit ; car si les angles AGB, ADB n'étaient pas droits, on pourrait construire avec les mêmes cêtésGA, AD, DB, BG, un quadrilatère xyf^$ dans lequel les anglrs yet^ seraient droits ; ce nouveau quadrilatère serait plus grand que l'ancien (473), et en plaçant respectivement sur les côtés ay, yPy $P, a$, les segments AEG, GFB, BGD, DHA, qui sont actuellement sur GA, BG, DB, AD, on aurait une figure totale ayant le même périmètre queAEGFBGDHA et une aire plus grande, de sorte que cette figure AEGFBGDHA ne serait pas un maximum comme on Ta supposé. Donc, de tout point G du contour AEGFB, on voit la droite AB, sous un angle droit; par suite, ce contour est le demi-cercle décrit sur AB comme diamètre.

Ainsi, si une fi^çure de périmètre donné est maximum, sa moitié AGB, prise à partir fP un ix)i Ht quelconque A de son contour, est un demi-cercle. La figure totale est donc un cercle.

Donc enfin, il n'y a qu'une seule figure maximum do périmètre donné, et cette figure est un cercle.

Steiner donne à ce théorème le nom de théorème principaly parce que sa démonstration renferme les principes les plus essentiels relatifs à la plupart des questions de maximums dans les figures planes (ou sphériques).

THÉORÈME

476. i* Si te périmètre d*une figure se compose d*une droite de longueur arbitraire l et d^une ligne de forme arbitraire L, et si en même temps la longueur de la ligne L ou l'aire de la figure est donnée ^ celle-ci est un maximum ou la ligne L est un minimum, quand cette figure est un demi-cercle,

Toulo figure comprise dans ce théorème peut être considérée comme la moitié d'une figure symétrique, dont la droite / est l'axe de symétrie, et dont le périmètre, égal à 2L, est donné. Mais Taire de la moitié est nécessairement un maximum, dès que la figure entière en est un. L'énoncé est donc une conséquence du théorème principal. Il s'ensuit en particulier : (\\x' entre totis les segments de cercle à arcs égnujc ou à aires égales, cU'st le itemi-ccrcle qui a l \iire la plus grande ou l'are le plus petit.

LiyRB ly. — LES AIBES. 3l3

a* Entre toutes les figures dont le périmètre est composé d'une droite

donnée a et d'une ligne prise à volonté L, le segment de cercla a la plus

grande aire pour des longueurs égales de la ligne L, et la plus petite

ligne L quand les aires sont égales.

Supposons la ligne L de forme quelconque et qu'elle compose avec la droite a le périmètre de la figure aL, on peut toujours construire sur a un segment de cercle dont Tare a soit égal à L, a et L étant situés du même côté de a. Complétons le cercle, et désignons l'autre arc par P; alors le cercle de périmètre a-f-p est plus grand que la figure limitée par L -f- p; ainsi «^a 4-flP > «L-f-«P,.donc fl^a> aL,

On déduit de ce théorème cette règle générale :

Dans toute fgure dont l'aire doit être un maximum sous des conditions quelconques, cluujue partie du périmètrCy qui est libre d'awùr une forme quelconque entre deux points donnés, doit être un arc fie cercle.

THÉORÈME

477. i* Un polygone de côtés donnés est maximum lorsqu'il est inscriptible au cercle.

Observons d'abord qu'on peut toujours, avec des côtés donnés a, b, Cj,,. , ly dont le plus grand a est moindre que la somme de tous les autres, former un polygone convexe inscriptible^ et un seul. En effet, décrivons un'prçmier cercle 0 assez grand pour que, en portant les unes à la suite des autres à partir de l'un des points A de la circonférence, des cordes AB= a, BC = A,...,LM = /, l'extrémité M de la dernière corde n'atteigne pas le point A, Le centre 0 étant d'abord situé dans le segment BCMA au-dessus de AB, supposons que ce centre s'abaisse d'une manière continue en décrivant la droite OZ perpendiculaire sur le milieu de AB. L'arc BCMA de la circonférence variable qui a pour centre 0 et qui passe par A et B décroîtra, et comme il a pour limite la droite AB, c'est-à-dire une longueur moindre que é -h c 4- . . . -h /, on voit que l'extrémité M de la ligne brisée inscrite BC . . . M s'approchera du point A, et l'atteindra pour le dépasser ensuite. Il y aura donc une position du centre 0 et une seule, pour laquelle la ligne brisée ABC ... M formera un polygone inscrit, comme nous l'avions annoncé.

Cela posé, soient S un cercle et P un polygone inscrit de côtés donnés â^, 6, c, . . . , /; P' étant un polygone quelconque formé avec les mêmes côtés, ajoutons à ce polygone P', sur chacun des côtés, les segments circulaires qui surmontent les côtés correspondants du polygone inscrit P. On obtient ainsi une figure S' terminée par des arcs circulaires, et dont le périmètre est égal à la circonférence du cercle S. On aura donc (475) S>S', d'où, en retranchant d« part et d'autre les segments circulaires qui surmoulent les côtés, P > P'.

3l4 OÉOHÉTBIB PLilfB.

2* Entre tous les polygones isopérimètres d'un même nombre de côtés, le polygone réguUerest un maximum; et réciproquement, entre les/jénmètres de tous les polygones équivalents d'un même nombre de calés, celui du polygone régidier est un minimum.

En effet, le maximum parmi les polygones isopérimètres de n côtés doit d'abord avoir tous ses côlés égaux entre eux; car si deux côtés consécutifs AB et BG étaient iné^ux, en remplaçant le trian<;1e ÂBG par un triangle isocèle AB'C construit sur la même base et de même périmètre, on aurait (470) une figure isopérimètre de n côtés et d'aire plus grande. Dès lors, les côtés du polygone ^nt donnés et égaux chacun à la /i*^"^ partie du périmètre; de plus, en vertu de la première partie du théorème qui nous occupe, le polygone maximum doit être inscriptible au cercle. Donc enfin, le polygone maximum devant être à la fois équilatéral et inscriptible, est régulier.

COROLLAIBE.

478. D'après cela, quand on cherchera quel polygone a Taire maximum pour un périmètre constant, ou le périmètre minimum pour une aire constante, le nombre des côtés étant variable, on n'aura qu'à s'occuper des polygones réguliers, et Ton trouvera la loi suivante :

Les aires des polygones réguliers isopérimètres forment une série croissante y qui commence par le triangle et se termine par le cercle; et les périmètres des polygones équivalents forment une série décroissante , à partir du triangle jusqu'au cercle.

En effet, deux polygones réguliers isopérimètres d*un nombre de côtés différents étant donnés, par exemple un pentagone ABCDE et un quadrilatère abcd^ on peut considérer ce dernier comme un pentagone dont l'un des côtés serait nul, ou bien, en prenant arbitrairement un pointe sur un des côtés de ce quadrilatère, par exemple sur ad^ le considérer comme un pentagone abctle^ dont l'un des angles e serait égal à deux angles droits ; le quadrilatère régulier peut donc être regardé comme un pentagone irrégulier : donc son aire est plus petite que celte du pentagone régulier ABCDE.

OIJESTIOMS PROPOSEES.

§ I. — Aires des polygones,

38 i. Chercher l'expression de l'aire d'un trapèze, en le considérant comme la différence des deux triangles obtenus en prolongeant jusqu'à leur rencontre les deux côtés non parallèles.