LIVRE VI. — LES P0LY6DRES

el le point C viendra en un point F tel, que DF soit parallèle à AC. La base A'B'C occupera donc alors la position DEF, et son plan sera parallèle au plan de la base ABC (508). La pyramide SDEF étant semblable à la pyramide SABC (678), il en est de même de la pyramide S'A'B'C qu'elle représente.

THÉORÈME

680. Deux polyèdres, composés d'un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés, sont semblables.

Fig. 368.

Soient ijig. 368) OABD, OBCD, OCDE, etc., O'A'B'D', O'B'C'D', O'C'D'E', etc., deux séries de tétraèdres respectivement semblables et semblablement disposés; le polyèdre formé par les premiers tétraèdres est semblable au polyèdre formé par les seconds.

En effet,

i"" Les faces homologues des deux polyèdres sont semblables comme composées d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés. Considérons, par exemple, la face ABCD du premier polyèdre. Les triangles ABD, BCD, qui la constituent, sont semblables aux triangles A'B'D', B'C'D', comme faces homologues de tétraèdres semblables. De plus, les triangles ABD, BCD, étant dans un même plan, les angles dièdres OBDA, OBDC, des deux tétraèdres OABD, OBCD, sont supplémentaires (5(^9); il en est donc de même des angles dièdres homologues O'B'D'A', O'B'D'C, des tétraèdres semblables O'A'B'D', 0' B'C'D'. Par suite, les deux triangles A'B'D', B'C'D', sont aussi dans un même plan, et constituent sur le second polyèdre une face A' fi' CD' semblable à la face ABCD.

2° Les angles polyèdres des deux polyèdres sont égaux

lOO. GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE.

comme ayant tous leurs éléments égaux et semblablemeni disposés; car les faces homologues des deux polyèdres étant semblables et semblablemeni disposées, leurs angles polyèdres ont d'abord toutes leurs faces égales chacune à chacune et semblablcment disposées. De plus, le^ angles dièdres homologues de ces angles polyèdres sont égaux, soit comme dièdres homologues de deux tétraèdres semblables , soit comme sommes d'angles dièdres égaux. L'angle dièdre BCDE, par exemple, formé par les deux faces ABCI), CDE, du premier polyèdre, est la somme des deux angles dièdres BCDO, ECDO, qui appartiennent aux deux tétraèdres OBCD, OCDE; et l'angle dièdre B'G'D'E', formé par les deux faces A' B' CD', C'D'E', du second polyèdre, est la somme des deux angles dièdres homologues B'C'D'O', E'C'D'O', qui appartiennent aux deux tétraèdres semblables O'B'G'D', O'C'D'E'.

681. Réciproquement, deux polyèdres semblables peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablemeni disposés,

Fig. 369.

Soit (/gf. 369) un point 0 pris dans l'intérieur du premier polyèdre; décomposons-le en tétraèdres en prenant le point O pour centre de décomposition (646), et soit OABC l'un des tétraèdres obtenus. Les points A, B, C, ayant pour homologues sur le second polyèdre les points A', B', C, menons un plan O'A'B' faisant au-dessus de A'B'C un angle dièdre égal à celui que forme le plan AOB au-dessus de ABC, et dans ce plan O'A'B' construisons le triangle O'A'B' semblable au triangle OAB. En prenant le point 0' pour centre de décomposition, on décompose donc le second polyèdre en tétraèdres

LIYIIE Tï. — LES POLYÈDRES. lOI .

qui correspondent à ceux du premier polyèdre, et il reste seulement à prouver que ces tétraèdres sont semblables deux à deux.

Soil D un quatrième sommet du premier polyèdre, tel que les deux triangles ÂBC, ABD, aient un côté commun, et soient situes sur la même face ou sur deux faces adjacentes. Comparons les deux tétraèdres OABD, 0' A'B'D'. Les faces OAB, O'A'B', sont semblables comme faces homologues des deux tétraèdres semblables OABC, 0' A'B'C; les faces ABD, A'B'D', le sont aussi comme triangles homologues de deux faces semblables des polyèdres donnés. De plus, si les deux triangles ABC, ABD, sont dans un même plan, les deux dièdres OABD, O' A'B'D', sont égaux comme suppléments des angles dièdres égaux OABC, O'A'B'C; si les deux triangles ABC, ABD, ne sont pas dans un même plan, les deux angles dièdres OABD, 0' A'B'D', sont encore égaux comme différences des angles dièdres égaux, DABC et OABC d'une part. D'A'B'C et 0' A'B'C d'autre part. Dans les deux cas, les tétraèdres OABD, O'A'B'D', sont semblables ( 679 ).

La même démonstration s'appliquera de proche en proche. La similitude des deux tétraèdres considérés en dernier Heu permettra toujours de vérifler la similitude des deux tétraèdres suivants.

SCOLIE

682. Deux points 0 etO' rapportés à deux polyèdres semblables sont dits homologues, lorsqu'en joignant l'un d'eux 0 aux sommets consécutifs A, B, C, de l'un des polyèdres, et l'autre O' aux sommets homologues A', B', C, de l'autre polyèdre, on obtient deux tétraèdres OABC, 0' A'B'C, semblables et semblablemcnt disposés par rapport aux deux polyèdres.

Il résulte de la démonstration précédente que deux points homologues quelconques peuvent être pris pour centres de décomposition de deux polyèdres semblables, en tétraèdres semblables et semblablenient disposés.

Si le point 0 est extérieur au premier polyèdre, son homologue 0' est aussi extérieur au second polyèdre; il faut alors considérer les deux polyèdres comme composés de tétraèdres additifs et de tétraèdres soustractifs.

lOa. GÊOMfiTRiE UAKS l' ESPACE.

Si le point 0 coïncide avec Tun des sommets A dq premier polyèdre, son homologue 0' coïncide avec le sommet A' du second polyèdre, cl les diagonales homologues des deux polyèdres, relatives aux sommets A et A', se confondent avec les arêtes latérales de leurs tétraèdres homologues.

683. Deux droites rapportées à deux polyèdres semblables sont dites homologues, lorsque leurs extrémités sont deux à deux des points homologues. Telles sont, par exemple, les diagonales relatives à des sommets homologues.

Le rapport de deux droites homologues quelconques est égal au rapport de similitude des faces homologues des deux polyèdres.

Fijî. 370.

Soient (/g-. 370) ABCDE, A'B'C'D'E', deux faces homologues quelconques des polyèdres donnés, et FH, F' 11', deux droites homologues quelconques. Formons les tétraèdres homologues FABC, F'A'B'C, UABC, H'A'B'C. La similitude de ces tétraèdres entraîne celle des tétraèdres FHAC, F'H'A'C. En effet, les faces FAC, IIAC, sont respectivement semblables aux faces FA'C, 11' VC, et Tangle dièdre FAClï, différence des angles dièdres FACB, HACB, est égal à Tangle dièdre F'A'C'ir, différence des angles dièdres égaux F'A'C'B', H'A'C'B'. Les deux tétraèdres FHAC, F'H'A'C, étant semblables, on a (677)