MÉTHODE PAR INTERSECTION DE LIEUX GEOMETRIQUES
168. La plupart des problèmes de Géométrie reviennent en dernière analyse à la détermination d'un point d'après certaines conditions. S'agitil, par exemple, de faire passer un cercle par trois points donnés? II faut trouver le centre. Veut-on mener une tangente à un cercle par un point extérieur? On cherche le point de contact, etc. D'après cela, si on laisse de côté une des conditions données, les autres conditions ne suffiront plus pour déterminer un point unique, et il existera une infinité de points remplissant ces conditions et formant par leur ensemble un lieu géométrique auquel appartiendra le point cherché. En reprenant la condition délaissée, et faisant abstraction d'une autre, on aura un nouveau lieu géométrique qui rencontrera le premier au point demandé.
Ainsi, pour trouver le centre d'un cercle passant par trois points donnés A, B, G (154), on fait d'abord abstraction du point G, et l'on trouve pour le lieu des centres des circonférences passant par A et B la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB; puis, reprenant le point G et délaissant le point A, on trouve pour le lieu des centres passant p^r B et G la perpendiculaire élevée sur le milieu de BG. Ces deux perpendiculaires se coupent au centre demandé.
Dans le problème Mener une tangente au cercle 0 par un point extc'rieur A (1S7), le point de contact inconnu est déterminé par l'intersection de la circonférence 0, qui est un premier lieu, et de la circonférence décrite sur AO comme diamètre, qui est le lieu des points d'oii l'on voit, comme du point de contact, la droite AO sous un angle droit.
Dans la recherche du segment capable cVun angle donné (162), la méthode des substitutions successives ramène d'abord la question à la recherche du centre d'un cercle passant par deux points donnés A et B, et langent en B à une droite donnée GBD; puis, en faisant tour à tour abstraction de la tangente CD et du point A, on trouve deux lieux rectilignes EO et BO qui se coupent au centre cherché.
La méthode par intersection de lieux géométriques , due à l'école do Platon (i3o-347 av. J.-C), est peut-Mre la plus générale et la plus fé-
conde de toutes les méthodes de la Géométrie. L'élégance et la valeur pratique de la solution sont d'ailleurs subordonnées au choix plus ou moins habile des deux conditions que l'on délaisse tour à tour; car do ce choix dépendent la nature et la facilité de recherche des deux lieux employés. La ligne droite et le cercle sont les seuls lieux qui doivent figurer dans les problèmes relatifs aux éléments de Géométrie plane, où toutes les constructions doivent s'effectuer avec la règle et le compas.
La méthode se prête, d'ailleurs, aussi bien à la discussion des problèmes qu'à leur solution. On commence par chercher les conditions pour que les deux lieux obtenus se rencontrent : le nombre de leurs points communs est le nombre des positions du point choisi pour inconnue. On cherche ensuite, si on ne l'aperçoit immédiatement, combien, à chaque position du point cherché, répondent de figures remplissant les conditions de l'énoncé, ce qui conduit au nombre des solutions du problème.
Remarquons enfin que, au lieu de ramener un problème à la recherche d'un point, on peut parfois le ramener à la détermination d'une droite d'après certaines conditions. S'il arrive alors que, en délaissant une de ces conditions, la droite devenue mobile reste tangente à un cercle fixe; puis que, en reprenant ladite condition et en faisant abstraction d'une autre, la droite reste tangente à un second cercle, on aura la position de la droite cherchée en menant des tangentes communes aux deux cercles enveloppes. L'un des cercles, ou même chacun d'eux, peut d'ailleurs se réduire à un point.
Proposons-nous, par exemple, de mener une droite D, qui passe par un point donne' A et qui détermine dans un cercle donné G une corde de longueur donnée. Les droites qui satisfont à la première condition seule ont pour enveloppe le point A. Quant aux droites qui satisfont à la seconde condition seule, elles enveloppent un cercle y concentrique au cercle G, puisque les cordes égales d'un même cercle sont équidistantes du centre. Toutefois, ce cercle y se réduit à son centre 0 si la longueur donnée, qui, d'ailleurs, ne saurait excéder le diamètre du cercle G, se trouve égale à ce diamètre. La droite cherchée D est, dans le premier cas, l'une quelconque des tangentes menées par A au cercle y; dans le second cas, c'est la droite AO.
469. Pour faciliter l'emploi delà méthode qui nous occupe, nous allons rappeler les lieux géométriques que nous avons déjà rencontrés, et en ajouter quelques autres qui se rattachent aux précédents et qui résultent immédiatement des théories étudiées.
1° Le lieu des points situés à une distance donnée d'un point donné est le cercle qui a le point donné pour centre et la distance donnée pour rayon (91);
UWl'k H. — LA CIIICO.NFÉRENCE DE CERCLE. 107
7." Le lieu des milieux des cordes égales d'un cercle est un cercle concentrique au premier (104);
S** Le lieu des points d'où l'on peut mener à un cercle des tangentes d'une même longueur donnée est un cercle concentrique au premier ( 1 58) ;
4" Le lieu des points situés à une distance donnée d'une droite donnée est le système des deux droites parallèles à la droite donnée et situées à la distance donnée de cette droite (69);
5° Le lieu des points situés à une distance donnée d'un cercle donné est le système des deux cercles concentriques au premier, dont les rayons sont égaux au rayon du cercle primitif augmenté ou diminué de la distance donnée (114) ;
6** Le lieu des points équidistants de deux points donnés est la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui unit ces deux points (49);
7° Le lieu des points équidistants de deux droites qui se coupent est le système des bissectrices des angles formés par ces deux droites (53);
8° Le lieu des points d'où l'on voit une portion de droite sous un angle donné est le système de deux arcs de cercle passant par les extrémités de la droite (134). En particulier, le lieu des points d'où l'on voit une portion de droite sous un angle droit est la circonférence dont cette portion de droite est un diamètre;
9" Le lieu des milieux des cordes d'un cercle qui passent par un point donné est le cercle qui a pour diamètre la droite qui joint le centre du cercle primitif au point donné, car du milieu de chacune de ces cordes on voit cette portion de droite sous un angle droit (102);
10° Le lieu des points dont les distances à deux droites qui se coupent ont une somme ou une différence donnée est le système de quatre droites. En effet, on prouve d'abord aisément que les points du lieu qui sont sur les deux droites données sont les sommets d'un rectangle dont ces deux droites sont les diagonales. Puis, en prenant un point sur l'un des côtés du rectangle (ou sur ce côté prolongé), on voit que la somme (ou la différence) des distances de ce point aux deux diagonales est égale à la distance d'un sommet du rectangle à la diagonale opposée. Nous nous bornons à ces indications, en proposant au lecteur comme exercice de trouver les détails de la démonstration ;
11° Le lieu des points M, tels que les pieds P, (}, R des perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés d 'un triangle ABC soient en ligne droite, est le cercle circonscrit à ce triangle {fig. 126).
En effet, quelle que soit la position du point M dans le plan, les quadrilatères MRPA, MllGQ sont inscriptibles, puisque des points R et P on voit MA sous un angle droit, et que des points R et Q on voit MG sous un angle droit; il en résulte que les angles ARP, CRQ sont respectivement égaux aux angles AiMP, CMQ.
Cela posé, si M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC, les angles
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AxMC et PMQ sont égaux comme ayant l'un bt l'autre pour supplément l'angle B; et si de chacun de ces deux angles on retranche l'angle PMC, les restes, c'est-à-dire les angles AMP, CMQ, et, par suite, AHP et CIlQ seront égaux, d'où il suit que P, Il,Q sont en ligne droite. Inversement, si ces points sont en ligne droite, les angles ARP, CRQ sont égaux; par suite, AMP, CMQ le sont aussi, ainsi que les angles AMC, PMQ qu'on obtient en leur ajoutant PMC;or, comme l'angle PMQ est le supplément de B, il en est de môme de AMC; de sorte que le point M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Fig. 126.
n est aisé de prouver que la droite PQR, que l'on nomme droite de Simson, est équidistante du point M et du point de concours des hauteurs du triangle ABC.
A cet effet, remarquons d'abord que si l'on prolonge la hauteur CHR
jusqu'à sa rencontre G avec le cercle circonscrit au triangle ABC, on a RG = RH; car les angles RAG, RAH étant l'un et l'autre égaux
