LIVHE II. — LA CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. IO

à HCD, sont égaux entre eux; les triangles rectangles ARG, ARH sont donc égaux et, par suite, KG est égal à RH. Cela pose, soit F un point quelconque du cercle circonscrit, N et L les projections de F sur AB et AC, enfin E et K les points où FG rencontre le côté AB et la droite de Simson NL. Le quadrilatère AFLN est inscriptible, puisque des points N et L on voit AF sous un angle droit; on en conclut l'égalité des angles FNK, FAC; mais ce dernier angle a même mesure queFGC, lequel est égal à NFK, puisque FN et CG sont parallèles. Donc les angles FNK, NFK sont égaux et, par suite, les droites KF et KN sont égales. On déduit de là, puisque le triangle FNE est rectangle en N, que K est le milieu de l'hypoténuse FE et que l'angle KNE est égal à KEN ou encore à HER, vu la symétrie de EH et de EG par rapport à AB. D'après cela, la droite de Simson NKL est parallèle à EH et passe par le milieu K de FE; elle doit donc passer par le milieu I de FH.

Le théorème de Simson a de nombreuses applications. Nous citerons en particulier la proposition suivante qu'on attribue à Salmon :

Si par un point M pris sur une circonférence w on mène trois cordes MA, MB, MG, et si l'on décrit les circonférences a, ^, y ajant respectivement pour diamètres MA, MB, MG, les trois cercles a, p, y auront en commun, outre le point M, trois autres points D, E, F qui sont en ligne droite.

11 est, en effet, aisé de voir que les points D, E, F sont les pieds des perpendiculaires abaissées sur les côtés du triangle ABC par le point M du cercle circonscrit à ce triangle.

470. Voici maintenant quelques applications un peu moins simples que les exemples qui nous ont servi ù exposer le principe de la méthode :

1° Construire un triangle ABC connaissant le côté AB, la hauteur correspondante et P angle opposé C.

Le sommet G est à l'intersection du lieu des points qui sont à une distance de AB égale à la hauteur donnée (169, 4°) et du lieu des points d'où l'on voit AB sous l'angle donné (169, 8°). Le premier lieu se composant de deux droites parallèles à AB et l'autre de deux arcs de cercle passant par A et B, il y a, en apparence, quatre solutions, qui se réduisent, en réalité, à une seule, vu l'égalité des quatre triangles trouvés. Le problème n'est, d'ailleurs, possible que si la flèche de l'arc capable de G et décrit sur AB est supérieure ou égale à la hauteur donnée.

2" Mener entre deux cercles K et ^ une droite qui soit tangente au premier A et qui ait une longueur donnée.

Le cercle B est un premier lieu d'une extrémité de la droite; un se-

J lO GÉOMÉIRIE PLANE.

cond lieu do la même extrémité est un cercle concentrique à A (169, 3°). Le problème a quatre solutions, car de chacun des deux points communs aux deux lieux partent deux tangentes au cercle A.

Ainsi, dans ce problème, le nombre des solutions excède le nombre des points d'intersection des deux lieux, tandis qu'il était moindre dans le problème précédent.

3" Décrire un cercle qui touche à la fois une circonférenee G et une droite AX en un point donné A (Jig. 127).

La perpendiculaire élevée par le point A sur la droite donnée est évidemment un premier lieu du centre du cercle inconnu.

Cela posé, remarquons que ce centre est à une dislance du point A égale au rayon du cercle cherché, et à une distance du point G égale à la somme ou à la dififérence des rayons du cercle inconnu et du cercle donné G, suivant que les cercles se touchent extérieurement ou intérieurement.

Donc, si l'on prend à partir du point A, de part et d'autre de la droite donnée AX et sur la perpendiculaire qu'on lui a menée au point A, deux longueurs AB et AB' égales au rayon du cercle G, on voit que le centre inconnu est équidistant de B et de G si le contact est extérieur, et de B' et de G si le contact est intérieur. Les perpendiculaires élevées sur les milieux de BG et de B'C forment donc un second lieu géométrique du centre cherché, et les points 0 et 0' où elles coupent la perpendiculaire menée par A à la droite donnée sont les centres des deux cercles qui résolvent la question.

Le point 0 existe toujours, car G et B étant de part et d'autre de AX, les droites BG et AX se coupent et, par suite, aussi les perpendiculaires à ces deux droites. Mais le point 0' peut cesser d'exister, car B'C peut être parallèle à AX ; le cercle G touche alors AX, et c'est cette droite qui tient lieu du cercle 0'.