CONSTRUCTIONS AUXILIAIRES : TRANSLATION, RENVERSEMENT, ETC

171. Dans un grand nombre de cas, une heureuse inspiration, fruit do l'habitude et d'un certain sentiment des choses géométriques, conduit à des constructions auxiliaires qui facilitent singulièrement la solution du problème proposé. On ne saurait évidemment formuler de règle générale; la diversité de ces constructions tient à la nature si variable du sujet lui-môme, et constitue au fond la richesse inépuisable de la Géométrie. L'étude comparée de plusieurs exemples bien choisis est plus instructive assurément que bien des préceptes. Toutefois, il convient de signaler quelques procédés qui réussissent souvent; tels sont la translation, la rotation, ou le retournement de certaines parties de la figure qui, permettant de mieux grouper les données, de réunir les éléments épars, rendent plus aisée la construction de la figure définitive.

Voici quelques exemples de translation parallèle :

1° Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés

En transportant parallèlement à lui-même l'un des côtés non parallèles du trapèze jusqu'à ce qu'il rencontre l'autre, on obtient un parallélogramme et un triangle; on sait construire le triangle, puisqu'on a ses trois côtés, et la figure s'achève immédiatement.

2® Étant donnés deux paT'allèles XY, X'Y' et deux points A ^^ B situés hors de ces parallèles et de côtés différents, trouver le plus court chemin de A e/z B par une ligne brisée AMNB, telle que la portion MN coin prise entre les parallèles ait une direction donnée {^g. i'28).

Fig. 12^

Si l'on transporte la portion intermédiaire MN parallèlement à ellemême au point B, c'est-à-dire si l'on mène BI parallèle à la direction donnée et égale à la longueur constante que les deux parallèles XY, X'Y' interceptent sur les droites ayant cette direction, on voit que la longueur de l'un quelconque AM'N'B des chemins considérés dans l'énoncé sera égale à celle de la ligne brisée AM'IB; elle se composera donc d'une partie constante BI et d'une partie variable AM'I, et tout reviendra à chercher sur la droite XY la position du point M' pour laquelle le chemin AM'I est minimum. Or, cette position n'est autre évi-

demmentque lo point M où la ligne droite Aï coupe XY. Connaissant M, on n'a plus qu'à mener MN parallèle à la direction donnée et à tirer NB, pour obtenir le chemin minimum demandé AMNB.

3° Foici un mode de translation <jui permet de résoudre un grand nombre de problèmes relatifs au quadrilatère (Jîg. 129) (*).

Dans un quadrilatère ABCD, on peut transporter AB et AD parallèlement à eux-mêmes en CBi et CDi. Le parallélogramme BBiDjD formé do la sorte contiendra les éléments du quadrilatère groupés d'une façon souvent avantageuse; les droites issues de G sont les côtés du quadrilatère et les angles formés autour de ce point sont les angles du quadrilatère; enfm les côtés du parallélogramme sont égaux aux diagonales du quadrilatère et forment les mêmes angles que celles-ci.

Par exemple, s'agit-il de construire un i/uadrilatère ABCD connaissant les diagonales, leur angle et les angles BGA, CAD. La connaissance des diagonales et de leur angle permet de tracer le parallélogramme BBi Di D ; puis, à l'aide des deux autres angles, qui sont respectivement égaux à BiBC, DDiC, on a le point C par la rencontre de deux droites, et la figure totale s'ensuit.

4° Remarquons enfm que la translation parallèle permet de mener entre deux lignes données une droite de direction et de grandeur données.

Il suffit de déplacer l'une des lignes de façon que chacun de ses points décrive une droite égale et parallèle à la droite donnée; cette nouvelle ligne coupera la ligne qui est restée fixe aux points où devra passer la droite cherchée. Nous engageons le lecteur à appliquer la solution au cas où les lignes données sont deux droites, deux cercles ou une droite et un cercle.

172. On a vu, à propos du triangle isocèle, l'avantage qui peut résulter du retournement d'une figure, et, dans la théorie des perpendiculaires et des obliques, la facilité que présente l'adjonction à une figure de la figure symétrique par rapport à une droite convenablement choisie; sur la figure ainsi doublée, on saisit parfois d'un coup d'oeil entre certaines lignes des relations qui seraient, sans cela, restées souvent inaperçues.

Voici d'autres exemples intéressants de cette méthode dllepar repliement ou par symétrie :

1° Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur cette droite un point M tel que la somme AM -h BM soit un minimum.

Si les deux points donnés sont, comme A et B' (^g. i3o), situés de part et d'autre de XY, la droite AB' résout la question ; elle coupe XY au point cherché.

C) Peterses, Méthodes et théories pour la résolution tics jjroblèmes. (Traduit par M. Chemin.)