LIVRE III. — f^BS FIGURES SEMBLABLES

deux autres, on peut partir de Tune quelconque d'entre elles comme hypothèse; nous choisirons par exemple la première

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Cela posé, il faut distinguer plusieurs cas:

Supposons d'abord les points D e/ E situés sur les côtés euxmêmes, c'est-à-dire l'un D entre A et B, et l'autre E entre A et G [fig, 1 38) ; et concevons par le point D une parallèle à BC. Cette parallèle déterminera (181) entre A et C un point dont

DA

les dislances à A et C formeront un rapport égal à jr^- Or,

entre A et C(179), il n'existe qu'un seul point dont le rapport

DA

des distances à A et C soit égal à ^r-^t et ce point est par hy-

pothèse le point E. Donc la parallèle à BC, menée par le point D, passe par E et coïncide avec DE. Donc enfin DE est parallèle à BC.

Supposons, en second lieu, les points D e/ E situés sur les prolongements des côtés. Si D est, par exemple, au-dessous

DA

de AB (fig. 139), le rapport t— sera supérieur à i ; il en sera

EA

donc de même de son égal =nT et, par suite, le point E sera

pareillement au-dessous de AC. Dès lors la démonstration s'achèvera comme ci-dessus.

On verrait de même que si D était au-dessus de BA (fig. i4o ), la proportion (i) exigerait que E fût au-dessus de CA ; puis, on achèverait la démonstration comme dans le premier cas.

Cette réciproque demande une certaine attention; l'hypothèse renferme en réalité deux parties : la première consiste dans l'existence de la proportion (i), et l'autre est relative à la situation des points D et E qui doivent être placés de la même manière sur les côtés AB et AC. Bien que sous-entendue d'ordinaire pour plus de brièveté, cette seconde partie est indispensable; car si l'un des points D était, par exemple, sur le côté lui-môme et l'autre E sur l'un des prolongements, la droite DE ne saurait être parallèle à BC, bien que la proportion (i) fût satisfaite.

THÉORÈME