AB BC ' O'B' B'C
OB
BC
D'ailleurs, l'angle O'B'C, différence des angles A'B'C, A'B'O', qui sont respectivement égaux aux angles ABC, ABO, est égal à l'angle OBC, différence de ces deux derniers. Donc les triangles OBC, O'B'C, sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels.
De la similitude des triangles O'B'C, OBC, on déduirait de même celle des triangles suivants O'C'D'.OCD; eiainsi de suite.
SCOLIES
210. Deux points 0 et 0', situés dans le plan de deux polygones semblables, sont dits homologues, lorsqu'en joignant l'un d'eux 0 aux exlréniiiés d'un côté AB et l'autre 0' aux extrémités du côté homologue A'B', on obtient deux triangles OAB, O'A'B', semblables et semblablement disposés par rapport aux deux polygones.
Il résulte de la démonstration précédente que deux points homologues quelconques peuvent être pris pour centres de décomposition de deux polygones semblables en triangles semblables et semblablement disposés.
Si le point 0 était extérieur au polygone ABCDE, son homologue 0' serait aussi extérieur au polygone A'B'C'D'E'; il faudrait alors considérer les deux polygones comme composes de triangles additifs et de triangles souslractifs.
Si le point 0 coïncidait avec l'un des sommets A, son homologue 0' coïnciderait avec le. sommet A'.
211. Deux droites situées dans le plan de deux polygones semblables sont dites homologues, lorsque leurs extrémités sont deux à deux des points homologues; telles sont, par exemple, les diagonales relatives à des sommets homologues.
Le rapport de deux droites homologues quelconques est égcd au rapport de similitude des deux polygones.
Soient en effet ABCDE, A'B'C'D'E' [fig.i^i), deux polygones semblables, et FH, F'H', deux droites homologues quelconques. La similitude (i210) des triangles FAB, F'A'B', prouve l'égalité des angles ABF, A'B'F', et celle des rapports
-— — , — — . De même, la similitude des triangles HAB, H' A' B', rB Ali
LIVIIE III.
LES FIGURES SEMBLABLÎ'S.
entraîne l'égalilé des angles HBA, H'B'A', ei celle des rap- H'B' A'B'
P""^^^ HB-' AB
On a par suite F'B'
FB
HB '
angieFBH ou HBA-FBA = anglerB'H' ou H'B'A'-F'B'A'
Donc, Ips triangles FBH, F'B'Il', sont semblables (200), et le
FH , , , , , , FB' k'W
rapport ^^7-^7 est égal a chacun des rapports égaux -pr^-» "TïT'
c'est-à-dire au rapport de similitude des deux polygones considérés.
THÉORÈME
212, L( rapport des périmètres de deux po If go nés semblables est égal à leur rapport de similitude.
En effet, ABCDE, A'B'G'D'E' {fi g. 15';), étant deux polygones semblables, les rapports
AB
BC
