LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l

gramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales, et réciproquement, si la somme des carrés des côtés d'un quadrilatère est égale à la somme des carrés des deux diagonales, ce quadrilatère est un parallélogramme,

232. Revenons au triangle ABC [Jlg. i65). Si, les points B et C restant fixes, le sommet A se déplace de manière que la somme des carrés des côtés AB et AC reste constante, la relation (i) du n" 230 montre que la valeur de la médiane AD restera constante. Donc, le lieu des points dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante est une circonjérence ayant pour centre le milieu de la droite qui unit les deux points fixes. D'ailleurs, pour trouver le rayon AD de ce cercle, il

suffît de remplacer dans la relation (i) la somme AB h- AC par la constante donnée K'; on a ainsi successivement

K*=2AD-4-2BD, AD= — -BD, AD=i/— -

-bd'.

On voit que le lieu n'existe qu'autant que la condition

— >bd' ou K>BDv/^

est satisfaite.

233. Enfin, comme dernière application du théorème précédent, nous calculerons les médianes d'un triangle en fonction des côtés. m étant la médiane relative au côté BC = «, on a, par la relation (i),

(^ , d'où /w = iv/a(^'H-c')-«'.

■ Exemple. Pour les médianes /w, ///, ///", du triangle dont les côtés sont 5 i3, 9 et 6, on obtient, à i millième près,

/w = 4jo3i, w'= 9,069, w"= 10,770.

THÉORÈME

234. La différence des carrés de deux côtés d*un triangle est égale au double produit du troisième côté par la projection de la médiane correspondante sur ce même côté.

Soit ARC le triangle proposé {fig. i65); reprenons les deux ■ft égalités

ab' =: ad' h- bd' — 2 bd . de,

Âc' = Âd' -T- Cd' -f- îCD.DE,

considérées au n" 230, et retranchons la première de la seconde, en observant que BD = CD ; il viendra

Âc' — âb'=4bd.de ou âc'— âb' = 2BC.de.

Corollaire.

23d. Si, les points B et C restant fixes, le sommet A se déplace de

façon que la différence AC — AB reste constante, la relation précédente prouve que la projection DE de la médiane ne change pas, c'est-à-dire que la projection E du sommet mobile A sur la droite BC reste fixe. Donc,

le lieu des points A, dont la différence AC — AB des carrés des distances à deux points fixes C ^/ B est constante, est une droite perpendiculaire à la droite BC qui unit les deux points fixes. D'ailleurs, pour avoir la valeur de DE, il suffit de remplacer dans la relation qui précède la dif-

férence AC — AB par la constante donnée K' ; on a ainsi successivement

K'= 2BC.de, DE =