BD = BC 4- CD

et, par suite, en vertu d'un théorème connu d'Arithmétique ('),

Bd' == BC V CÏ) V 2BC.CD.

En substituant cette valeur de BD dans la relation ( i ), on trouve ÂB =BC'-f-CD% ÂdVîBC.CD;

(') Le carré de la somme de de.ix nombres est égal au cane du premier) plus le carré du second, plus le double produit de ces deux nombres.

l52 GÉOMÉTUIE PLANE.

n, comme le triangle rectangle ACD doiiiie

on a finalement

CD'-f.AD'=Ac\

Ab'= BC'-t- AC'-h 2BC.CD.

Corollaires.

228. Il résulte des trois théorèmes précédents que, dans un triangle, le carré d'un côté est inférieur, égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres, suivant que l'angle opposé à ce côté est aigu, droit ou obtus ; donc, réciproquement (7), un angle d'un triangle est aigu, droit ou obtus, suivant que le carré du côté opposé à cet angle est inférieur, égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si«rr=5, 6 = 4> ^ = 3, l'angle A est droit et le triangle est rectangle, puisque 25 = 1 6 H- 9. De même, si a=zii, bz=g, c=8, Tangle A est aigu, puisque 11' ou 121 est moindre que 9'+ 8% c'est-à-dire que 81 4- 64 = J^5.

229. Comme application des théorèmes qui précèdent, nous allons calculer les hauteurs d'un triangle en fonction des côtés. Nous désignerons par ABC le triangle considéré, et par a, b, c, les longueurs des côtés respectivement opposés aux angles A, B, C.

Cherchons la hauteur AD = h issue du sommet A. Des deux angles B et C, l'un au moins est aigu; supposons que ce soit l'angle C (y%. i63'). On a d'abord, dans le triangle rectangle ADC (225),

//'= ^'^-Cd', puis, dans le triangle ABC (226),

c'=:«»-+- ^2— 2«.CD.

On déduit de là

2fl

et la première relation devient

LIVUK III. — - LES FIGURES SEMBLABLES. i53

OU, en vertu d'un théorème d'Arithmétique ( ')

[lab -^ g}-^ h"— c') [inb — a^— h'-:~ c^)

^[{a -^ Oy- c^][c'- [a - by]

Or, si l'on désigne par p le demi-périmètre du triangle ABC, c'est-à-dire si l'on pose

a-h b -\- c = 2/?, on a

b -h c — a = 2.p — ia = i[p — a)y

a -ir c — b = ip — ib = i{p — b), a -{- b — c = ip — ic = i[p — c).

En portant ces valeurs dans l'expression de //', simplifiant et extrayant la racine carrée, on obtient

Exemple. Pour les hauteurs h, h\ h% du triangle dont les côtés sont i3, 9 et 6, on trouve, à i millième près,

THÉORÈME. "" 230. La somme des carrés de deux côtés d'un triangle est égale à deux fois le carré de la médiane relative au troisième côté y plus deux fois le carré de la moitié, de ce troisième côté [fis- ■65).

Fig. i65.

Soient ABC le triangle proposé, AD la médiane relative au côté BC, et AE la perpendiculaire abaissée du point A sur BC.

(' ) La difTérence des carrés de deux nombres est égale au produit de Li soinmfl de ces deux nombres par leur différence.

L*angle ADB étant aigu, on a, dans le triangle ADl^,

ab'=ad'-+-bd'- 2BD.de.

L'angle ADC élani obtus, on a, dans le triangle ACD,

âc'=âdVcd'4-2Cd.de.

En ajoutant ces deux égalités et en observant que CD = B1), on trouve

|l) ÂbV Âc'=r 2ÂD'-f- 2BÏ)'.

Corollaires.

231. Considérons un quadrilatère ABCD [fg. 166), et soient E et F los

Fig. 166.

milieux des deux diagonales AC et BD. En appliquant successivement le théorème qui précède aux triangles ABC et ADC, on a

AB -4-Bc'='2ÂË'-4-'2BË\

d'où, en ajoutant et en désignant par S la somme des carrc'^s des quatre côtés du quadrilatère,

S = 4ÂËV2(BË'-hDÏ;').

Or, dans le triangle BED, on a

Donc, enfin,

Ainsi, dans tout quadrilatère, la somme des carrés des quatre côtes est

beVde =2Bf'+2EfV

S = 4AE + 4BF*4- 4Ef'= AcV Bd'h- 4Ef'.

égale à la somme des carrés des deux diagonales y plus quatre fois le carré de la droite qui unit les milieux de ces diagonales.

Pour que le quadrilatère soit un parallélogramme, il faut et il suffit que les points E et F coïncident (8,'?, 8i). Donc, dans tout parallélo-