AB.AC=AE'.AD

qu'on transformerait ensuite dans la suivante :

AB.AC = D'B.D'C-ÂF'\

Donc, le produit de deux côtés d'un triangle est égal au produit des deux segments soustractifs que la bissectrice de leur angle extérieur détermine sur le troisième côté, diminué du carré de cette bissectrice.

238. Ces théorèmes permettent de calculer les longueurs des bissectrices en fonction des côtés du triangle.

S'agit-il, par exemple, de la bissectrice AD = a, il suffit de remplacer dans la relation

^c = a^H-DB.DC,

les segments DB et DC par leurs valeurs que l'on déduit (I8i) des équations

DB DG^DBh-DC a

On trouve ainsi, réductions faites, et en désignant par p ledemi-périmètro du triangle,

Sfbcpïp

Un calcul analogue donnerait pour la bissectrice AD' ~ a' de l'angle extérieur

a'= — ^ ^bc{p-b){p-c).

Exemple. Pour les bissectrices intérieures a, p, 7, et pour les bissec- ^ trices extérieures a', p', 7'» du triangle dont les côtés sont i3, 6 et 9, on ^B obtient à i millième près

l58 GÉOMÉTRIE rUKE.

SCOLIE

239. Voici une autre expression souvent utile du produit de deux côtés d'un triangle.

Le produit de deux côtés AB, AC, d'un triangle est égal au produit du diamètre AD du cercle circonscrit par la liauteur AE relative au troi' siènte côté {fig. i68).

La relation à démontrer

ABAE AD~ AC

AB.AC = AD.AE ou

résulte immédiatement de la similitude des deux triangles rectungles ABD, AEC, dont les angles aigus D et C sont égaux comme inscrits dans le même segment.

Ge théorème permet de calculer, en fonction des côtés du triangle, le rayon Rdu cercle circonscrit; il suffit pour cela de remplacer, dans Té-

galité

hc = 2R.AE,

la hauteur AE par sa valeur donnée au n° 229 ; on trouve alors

ahc

Pour a —\Z^b

^\lp[p-a)[p-b){p-c\ 9, c - 6, on a R = 7,416.

THÉORÈME

24^0. Dans tout quadrilatère inscriptible convexe, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés, et réciproquement .

En effet, considérons un quadrilatère convexe quelconque ABCD [Jig. 169), et désignons respectivement par a, b, c, d,

Fig. 169.

X, jles côtés AB, BC, CD, DA et les diagonales AC, BD; enfin, sur AB considéré comme homologue de AD, construisons, extérieurement au quadrilatère, un triangle ABO semblable à