M AO AB OB
d'où
La première des proportions ( i ) et l'égalité évidente des angles OAC, BA!) prouvent que les triangles OAC, BAD sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels; on en conclut la relation
OC AC ., , ^^ xr BD = Al)' 'l^" ^^=d
Ainsi,/^.ç trois côtés du triangle OBC ont respectivement pour valeurs
BC=:6, OB=î^, 0C = ^, a a
et, par conséquent, sont proportionnels aux produits bd, ac, xy. Donc, comme OC est moindre que OB + BC, on voit que dans un quadrilatère convexe quelconque le produit xy des diagonales est iniérieur à la somme ac + hd des produits des côtés opposés. Pour qu'il soit égal à cette somme, il faut et il suffit que le côté BO soit le prolongement de CB, c'est-à-dire que l'angle ABO, et par suite son égal ADC, soit le supplément de ABC, ou enfin que le quadrilatère ABCD soit inscriptible.
Corollaires.
1h\. La démonstration qui précède suggère immédiatement le moyen de construire un quadrilatère convexe inscriptihle connaissant les longueurs a, b, c, d des côtés et leur ordre de succession.
On portera sur une même droite à la suite l'une de l'autre
ac des longueurs CB, BO respectivement égales à ^ et à -7-; puis,
on aura le sommet A par l'intersection du cercle décrit du point B pour centre avec a pour rayon et du cercle, lieu des
l6o GÉOMfiTRIE PLANE.
points dont les distances aux points 0 et C sont dans le rapport
— - = -. On connaîtra 3lors les trois côtés du triangle DAC, ce AC tt
qui déterminera le point D.
11 y a deux points D; mais on choisira celui qui est, par rapport à AC, du côté x)pposé à B. De môme, il y a deux points A; mais ils sont symétriques par rapport à BG; il suffira donc de prendre l'un d'eux, l'autre donnant le même quadrilatère placé symétriquement par rapport à BC. Il y a donc une solution unique.
242. Si l'ordre de succession des côtés n'était pas imposé, on trouverait trois quadrilatères distincts, suivant qu'on opposerait au côté 6, le côté dy c ou a: h chacun de ces cas répondent, il est vrai, deux quadrilatères; mais ces deux quadrilatères sont égaux; ils ne diffèrent que parleur disposition symétrique par rapport à la perpendiculaire élevée sur le milieu du côté />.
Lorsqu'on a l'un ABCD (Jlg. 170) des trois quadrilatères, on obtient immédiatement les deux autres ABCD', BCDA', en prenant sur le cercle circonscrit au premier l'arc AD' égal à l'arc CD, et l'arc DA' égal à l'arc AB; les arcs BAD', CDA' étant égaux, leurs cordes BD', CA' sont égales, et, en désignant par z leur valeur commune, on voit que les trois quadrilatères ont respectivement pour diagonales a: et j, ^ et z, j et z. Le théorème ci-dessus (240) appliqué à chacun d'eux donne
(2) xy = ac -\- bd, xz=iad-\- bc, yz =z ab -\- cd.
En divisant les deux dernières équations membre à membre, on obtient
X ad -h bc
^ ' y ab -\- cd
Donc : Dans tout quadrilatère inscriptibîe convexe, les diagonales sont entre elles comme les sommes des produits des côtés qui aboutissent à leurs extrémités.
La réciproque de cette proposition est vraie ; en d'autres termes, si les diagonales et les côtés d'un quadrilatère convexe ABCD satisfont à la relation (3 ), le quadrilatère est inscriptibîe. Mn effet, soient x, etjr, les diagonales du quadrilatère inscriptibîe
