AS = AT, QS = QT

puis, de l'égalité des triangles rectangles BQS, TQE, qui ont l'hypoténuse égale et un côté égal, on déduit

On a donc

AB = AS-BS

ET = BS.

el AE = AT -h TE

AS + BS.

Mais QS n'est autre que la moitié du côté du décagone convexe, puisque AQ est égal au rayon et que, l'arc BQ étant le dixième de la circonférence, l'angle inscrit BAQ est la moitié de l'angle au centre du décagone convexe; on a donc

QS = ^(v'5-.);

par suite,

AS = sJaq' -~ Qs' = j Vio + 2s/5,

BS= V^BQ'-Qs' = 5(y^

R. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie).

On aura donc, d'après les relations ci-dessus,

ABr=: I {Vio-i-2v/5-hv/3-v/"i5),

AE = j (Vio + 1 v/5 - v/3 -I- v/"^).

On verra de même que, X étant le milieu de ML, AX est le côté du décagone étoile et XO =: XI le côté de l'hexagone, ce qui permettra de construire et de calculer d'une manière analogue les côtés AO et AI des deux autres pentédécagones étoiles. En remarquant que XY est la moitié du côté du décagone étoile, on trouve

AO =. ^ ( V/T.5 -4- v/3 -~ v/io-2v/5), AI = ^ ( V/^ -I- v/3 -}- v/io-a^5).

281. Du peniédécagone convexe, on passe au polygone de 3o côtés, puis à celui de 6o, . . ., et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le compas^ inscrire les polygones réguliers de i5, 3o, 6o, 120,..., et en général de 3.5.2« côtés.

PROBLÈME

282. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle donné, calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre de côtés double [Jig, igS).

Soient kh ~ a le côté donné et R le rayon du cercle;