LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. IqS

CD étant le diamètre perpendiculaire à AB, AC sera le côté cherché, que nous désignerons par «'.

La corde AC est moyenne proportionnelle entre le diamètre CD et sa projection CE = OC — OE sur ce diamètre; on a donc

a'^= 2R(R - OE) = R(2R — 2OE).

Mais le triangle rectangle AEO donne

OE = \/\d-AE ou OE=i/K'-j = ls/^\\^-a'

On a donc finalement

En particulier, lorsqu'on prend le rayon pour unité, on a

(2) a'z^sli— sl^ — a\

On peut donner à cette relation une autre forme plus commode pour le calcul numérique. Le produit de la somme 2 -h y/4 — a% par la différence 2 — y/4 — a', est égal à la différence des carrés de 2 et de y/4 ~ <^% c'est-à-dire à

4~(4-a')==a\ Par suite, or a

et enfin

SCOLIE

,, 283. En partant d'un polygone dont on connaît le côté, on

I pourra, par l'application répétée de la formule (3), calculer successivement les côtés, et par suite les périmètres des polygones réguliers inscrits de 2«, 4^, 8/î, i6/i, . . . côtés, n étant le nombre des côtés du premier polygone. Voici les résultats que l'on obtient en partant, soit du carré dont le côté est y/2 I .__. __ ...., .....__ ...... ..

dans le cercle de rayon i, soit de l'hexagone dont le côlo est I :

Nombre des côtes. Dcml-pérlmètres.

Nombre des côlôs. Demi-pcrlmètres,

96 3, i4io3

Ces valeurs sont obtenues par défaut à moins dune unité du cinquième ordre décimal.

PROBLEME

284. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit, calculer le côté du polygone régulier circonscrit semblable

Fig. 196.

Soient AB= a le côté donné et R le rayon du cercle; menons la tangente CD au milieu F de l'arc AB et prolongeons-la jusqu'aux points C et D, où elle rencontre les rayons OA et OB prolongés. CD sera le côté cherché (265); désignons-le par a.

Les triangles semblables AOE, COF, donnent

maison a (282)

il en résulte

CFOF «__5.