LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES I

l'arc DIE, on a

r'—a'=\F et r — a = CG = 2CF;

il s'agit donc de prouver que IF est inférieur à la moitié de CF, c'està-dire que IF est moindre que CI. Or l'angle inscrit IDE et l'angle IDC formé par une tangente et une corde ont pour mesure, le premier la moitié de l'arc lE, le second la moitié de l'arc DI; ces angles sont donc égaux, et DI est la bissectrice de l'angle -CDF. Donc enfin le rapport do IF à IG est égal à celui de la perpendiculaire DF à l'oblique DG, et, par suite, moindre que i.

Le même fait ressort des formules précédentes.

Nous désignerons par a" et r" l'apothème et le rayon du polygone isopérimètre de in côtés, en sorte que ia" = o! -\- r\ r"^ = a"r'.

Cela posé, on a, en vertu de (i"),

r — a ~ •2{r — a') ~ i{ra' —a!'^) ~ i{r'^ — a"^) ~" i{a' -^ r') ~~4 «"*

or, les apothèmes allant en croisant, le dernier membre est plus petit quel.

289. On peut encore remarquer (D. Andri:, Nouvelles Annales, 1874) que chacun des rapports

aJ'—a! r'—r" ■> ;

est aussi inférieur à - •

Cela est évident pour le premier ; car, en vertu de la formule (i") et de

son analogue a"—a'^ -(/—«'), il est égal au rapport que

nous venons de considérer.

Quant au second, on a

or, des trois facteurs qui figurent au dernier membre, les deux premiers

sont inférieurs à i ot l'autre est moindre que -•

290. Étant donnés les périmètres p et ? de deux polygones réguliers ie n côtés f l'un inscrit, l'autre circonscrit à un même cercle, calculer les périmètres p' et P' des polygones réguliers inscrit et circonscrit de in côtés.

Le rapport de similitude ou celui des périmètres étant égal au rappori des apothèmes (269), on a {Jig. 197)

d'où