LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES

rail. C et D étant deux points consécutifs quelconques, nous nommerons angle de la corde CD avec la tangente au point G l'angle dont devrait tourner CD autour du point C supposé fixe pour que le point D vînt se confondre avec C. De même, l'angle de la corde CD avec la tangente au point D sera l'angle dont devrait tourner DC autour du point D supposé fixe pour que le point C vînt se confondre avec D.

Supposons les points A, C, D, ..., I, B, assez rapprochés pour que chacun des arcs partiels AG, CD, . . ., IB, soit convexe et que sa corde fasse des angles aigus avec les tangentes menées à ses deux extrémités. Dans ces conditions, nous donnerons à la ligne polygonale AGD...IB le nom de ligne brisée inscrite dans l'arc AB, et nous appellerons ligne brisée circonscrite correspondante la ligne AM'N'.-.I'B dont les côtés touchent l'arc AB aux sommets A, C, D, . . ., I, B, de la ligne brisée inscrite.

Gela posé, on ramène la notion de la longueur d'un arc de courbe à celle de la longueur d'une ligne droite, à l'aide de la définition suivante :

La longueur d'un arc de courbe est la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée inscrite dans cet arc, lorsque les côtés de cette ligne tendent vers zéro.

Toutefois, pour justifier cette définition, il faut prouver que cette /imite existe et est unique, c'est-à-dire indépendante de la loi suivant laquelle les côtés tendent vers zéro.

Pour plus de clarté, nous diviserons la démonstration en deux parties.

1" Le rapport des périmètres d'une li^ne brisée inscrite et de la U^ne brisée circonscrite correspondante tend vers l'unité, quelle que

iO?. GÉOMÉTRIE PLANE.

soit la loi suivant laquelle les côtes de la ligne inscrite tendent vers zéro.

En effet, soient M, N, . . . , T, les projections des sommets M', N', . . . , T', de la ligne circonscrite sur les côtés AC, CD, ..., IB, de la ligne inscrite. Puisque chacune de ces cordes fait des angles aigus avec les tangentes à ses extrémités, les points M, N, ..., T, tombent respectivement entre A et C, entre C et D, . . ., entre I et B (44). Le rapport considéré est donc égal au suivant

AM^-h MT + CN^ + . . .-h r B .

AM-hMG + GN-H...-hTB *

et, comme la valeur de ce dernier est, d'après un théorème connu d'Arithmétique, comprise entre les valeurs du plus petit et du plus grand des rapports

AM' MX cn; ttb