AB < L

2o4 GÉOMÉTRIE PLANE.

2° Tout arc convexe a. est moindre qiCune li^nc quelconque p qui /V/iveloppe en partant des mêmes extrémités.

Il suffit, en effet, de concevoir une ligne brisée convexe a' inscrite dans l'arc a et une ligne brisée p' inscrite dans l'arc p et n'ayant aucun point commun avec l'arc a. On aura alors (39) a'< p', et par suite à la limite, lorsque les côtés des lignes brisées tendent vers zéro, a < p.

On verrait, par un raisonnement analogue, que le périmètre d'une ligne convexe fermée est moindre que le périmètre de toute ligne qui l'enveloppe.

3° Le rapport d'un arc de courbe AC à sa corde [fg. 198) « pour limite l'unité, lorsque l'arc tend vers zéro. — Car, en menant les tangentes AM' et CM', on a (i*)

corde AG < arc AC < AM' -f- M'C, d'où

arcAG AM'-i-IvrC * *^ corde AC"^ AMh-MG *

Or, on a prouvé (291, i") que ce dernier rapport a pour limite l'unité lorsque l'arc AG tend vers zéro. La proposition est donc démontrée.

THÉORÈME

293. Le rapport de deux circonférences quelconques est égal au rapport de leurs rayons.

Soient K et R' les rayons, et C et C les longueurs de deux circonférences; inscrivons dans la première un polygone régulier quelconque et, dans la seconde, un polygone régulier d'un même nombre de côtés. P et P' étant les périmètres de ces polygones, on aura (212, 269)

Cette proportion, ayant lieu quel que soit le nombre des côtés des deux polygones, subsistera quand on fera croître ce nombre indéfiniment; mais alors, les périmètres P et P' tendront vers leurs limites respectives C et G' (291) et leur rapport

tendra vers jr,' On aura donc, à la limite,

liviie iii. — les figures semblables. 2o5

Corollaire.