DES ANGLES

301. Considérons un cercle de rayon égal à l'unité {fig. 201) et deux diamètres perpendiculaires A'A et B'B. Supposons qu'un mobile M partant de A décrive la circonférence en tournant dans un sens déterminé, par exemple dans le sens opposé au mouvement des aiguilles d'une montre; ce mobile décrira un arc x qui, nul au départ, prend successivement les valeurs -> tt, — ? 277, — , ... à mesure que le mobile ar- 222 ^

rive respectivement aux points B, A', B', A, B. .. .. Si le mobile, partant toujours du point A que nous prenons pour origine des arcs, tournait en

Fig. 201

sens inverse, il décrirait des arcs négatifs égaux respectivement en valeur absolue aux arcs positifs décrits âans le premier cas. D'après cela,

2l8 GÉOMÉTRIE PLA1n£.

l'arc x est une variable qui peut passer par tous les états de grandeur do — oo à -f-oo.

Tous les arcs qui, ayant la même origine A, ont une même exirémité M, sont compris dans la formule 2 kir -^ x, où x désigne le plus petit des arcs positifs qui vont de A en M et k un nombre entier quelconque positif, nul ou négatif; en effet, deux arcs quelconques de la série diffèrent évidemment d'un certain nombre de tours, c'est-à-dire d'un multiple de 277.

Gela posé, soient u et t> deux directions données et OU et OV deux demi-droites menées par un point arbitraire 0 parallèlement à ces directions. Du point 0 comme centre, décrivons (^^.199) un cercle de rayon i , et désignons par N et M les points où ce cercle rencontre respectivement OU etOV; enfin prenons pour sens positif sur ce cercle le sens opposé au mouvement des aiguilles d'une montre. On nomme angle de la direction u avec la direction v ou angle de la demi-droite OU avec la demi-droite OV, l'angle qui a pour mesure a -h 2/7T, a étant le plus petit arc positif ayant N pour origine et M pour extrémité, et k un nombre entier quelconque positif nul ou négatif. Cet angle, ainsi défini, n'est déterminé qu'à un multiple près de 27t; on le désigne par UOV; OU est le côté origine et OV le cté extrême.

En vertu de cette même définition, on aura pour l'angle VOU de la direction OV avec la direction OU, la valeur — a -h 2A'7r; on a donc alors

SOS. Deux angles de même sommet sont dits consécutifs lorsque le côté origine du second est le côté extrême du premier.

Quand plusieurs angles ont le même sommet 0, il est commode le plus souvent de les rapporter à un même côté origine OX; on y parvient à l'aide de la formule

(2) UOV=XOV-XOU-4-2«7r,

que l'on démontre de la manière suivante. Désignons respectivement par a, p, y les plus petites valeurs positives des arcs AN, NM, MA comptés sur le cercle de rayon i ayant 0 pour centre : on a évidemment,

a 4- p -h Y = 2X71, X étant un entier positif.

Mais les définitions du numéro précédent donnent

X0U = a-4-2/:7r, UOV =P + 2A-'ir, XOV = — VOX = - Y + 2rir,

et il sufHt de tirer de ces relations a, p, y et de les porter dans la précédente pour tomber sur la formule (2) qu'on énonce ainsi : L'angle