LIVRE III. — LUS FIGURES SEx>lBLABLi;S

Réciproquemoiit, si, par les sommets d'un triangle ABC, on mène trois droites ka^ B^, Ce, telles que la relation (2) soit vérifiée, ces trois droites passent par un même point.

En effet, en désignant par 0 le point de concours de A<7 et de B^, et par c' le point où CO rencontre le côté AB, on a, d'après ce'qui précède,

«B bZ î k^ aC'bkc'tà~ ''

d'où, en comparant avec la relation (2) qui est satisfaite par hypothèse,

cA c'a

Les points c et c' coïncident donc (303); en d'autres tern.es, la droite Ce asse par l'intersection 0 de A^ et de B^.

Corollaire.

312. Le théorème qui précède, dû à Jean de Céva, géomètre italien du XVI'' siècle, sert à prouver que trois droites d'une figure sont concourantes; il peut aussi intervenir comme auxiliaire utile dans certaines démonstrations.

Voici quelques exemples :

1° Dans tout triangle ABC, les trois médianes ka^ Bè, Ce, passent par un même point; car chacun des rapports qui figurent dans le premier membre de la relation (2) est alors égal à — i.

2° Dans tout triangle ABC, les bissectrices Afl-, Bè, Ce, des trois angles passent par un même point.

En effet, en vertu du n" 184, les rapports négatifs qui figurent dans le premier membre de la relation (2) sont, en valeur absolue, respectivement égaux aux rapports