AB BG AG AC' AB' BC

dont le produit est égal à i.

On verrait de même que les bissectrices des suppléments, de deux angles et la bissectrice du troisième angle passent par un même point.

3" Dans tout triangle ABC, les trois hauteurs Aa, B^, Ce ^passent par un même point.

En effet, les triangles semblables BA^, CAc donnent

ck AC bk AB*

.. et DE G. -

- Tr de Géom. (I" Partie),

et l'on a do môme

^B AB bO. BG.

cB BC' «G AC

d'où l'on vbit, en multipliant membre à membre, que le produit

-7^»7-r«— ^ est, en valeur absolue, égal à i. D'ailleurs, chacun de ces (iC bk cB

trois rapports est négatif; donc leur produit est égal à — i.

SCOLIE

313. Si par les sommets d^un triangle ABG on mène trois droites quel' conques rencontrant respectivement les côtés opposés en o, b^ c, on a la relation [fig. 20 5)

,-, r/B bO ck singAB sin^BG sincCA

^ aCbk"cB~ sin^AG'sin^BA'sincCB*

En effet, les triangles «AB et «GA donnent (307)

^B BA aC GA ^

sinBA« sinArtB* sinCAû ~ sinAâC*

d'où, en divisant membre à membre,

^ AB sinoAB,

oG ~ ÂG sinûAG'

et il suffit de transporter cette valeur et les valeurs analogues de j-r ^

ck

-jr dans le premier membre de (3) pour tomber sur le second membre.

De ce lemme et des théorèmes de Ménélaiis et de Jean de Géva, résultent immédiatement les propositions suivantes :

I* Si par les trois sommets d'un triangle ABC on mène trois droites rencontrant les côtés opposés aux trois points a^ b^ c situés en ligne droite, on a la relation

sinflAB sin^BC sincCA sin/7AG sin^BA sincCB ~"

2* Quand trois droites issues des sommets d'un triangle ABG passent )ar un même point 0, on a

sinOAB sinOBG sinOCA __ sinOAG'sinOBA* sinOGB "~ '"