LIVRE m

LES FIGURES SEMBLABLES

349. Cela posé, voici en quoi consiste la méthode des polaires réciproques :

Une figure quelconque étant donnée, si l'on forme sa polaire réciproque par rapport à un cercle directeur, on obtiendra une nouvelle figure corrélative de la première, c'est-à-dire telle que ses points et ses droites seront respectivement remplacés par des droites et des points. Ainsi, à uno série rectiligne de points dans l'une des figures répondra dans l'autre un faisceau de droites, et réciproquement; à des points en ligne droite sur une courbe, répondront autant de tangentes issues d'un même point et menées à la courbe correspondante; le point d'intersection de plusieurs courbes sera remplacé par une tangente commune aux courbes correspondantes, etc. . . . Toute propriété descriptive, c'est-à-dire n'ayant rapport qu'à la situation des lignes, indépendamment de toute condition de grandeur, conduira à une autre propriété de la figure polaire réciproque que l'on pourra énoncer immédiatement d'après ce qui précède, et qui sera par là même démontrée. Il n'est pas même nécessaire de construire la figure; il suffit, pour passer d'un énoncé à l'autre, de changer les mots points et lignes en lignes et points.

C'est ainsi que l'un des deux théorèmes (326, 327) sur les triangles homologiques résulte de l'autre, que îa propriété de l'hexagone circonscrit, due à Brianchon, résulte du théorème de Pascal sur l'hexagone inscrit (328, 329), etc. Toute conséquence de l'un de ces deux derniers théorèmes doit aussi conduire à une conséquence corrélative de l'autre; voici quelques exemples :

Dans tout pentagone inscrit dans un cercle, le point de concours de la tangente menée par un sommet et du côté opposé, et les points de concours des autres côtés non consécutifs, sont trois points en ligne droite.

Dans tout quadrilatère inscrit dans un cercle, si l'on mène des tangentes par deux sommets adjacents, le point de concours de chacune d'elles avec le côté passant par le point de contact de l'autre, et le point de concours des deux autres côtés, sont trois points en ligne droite.

Dans tout quadrilatère inscrit dans un cercle, les points de con-

Dans tout pentagone circonscrit à un cercle, la droite qui joint un sommet au point de contact du côté opposé et les diagonales joignant les autres sommets non consécutifs sont trois droites qui se coupent au même point.

Dans tout quadrilatère circon^ scrit à un cercle, si Von prend les points de contact de deux côtés adjacents et que Von joigne le point de contact de chaque côté avec le sommet de Vautre côté, et les deux autres sommets opposés, on aura trois droites se coupant au même point.

Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, les deux diagonales

2^8 GÉOMÉTRIE PLAME.

et les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés, sont quatre droites se coupant au même point.

Dans tout triangle circonscrit à un cercle, les droites qui joignent le point de contact de chaque cote avec le sommet opposé se coupent au même point.

cours des tangentes menées par les sommets opposés, et les points de concours des côtés opposés, sont quatre points en ligne droite.

Dans tout triangle inscrit dans

'in cercle, les points de concours de chacpie côté avec la tangente menée par le sommet opposé sont trois points en ligne droite.

Les théorèmes de la colonne de gauche sont des corollaires du théorème de Pascal ; ce théorème, étant en effet indépendant de la longueur des côtés de l'hexagone inscrit, subsiste lorsque l'on remplace quelquesuns de ces côtés par des tangentes à la circonférence. Les théorèmes de la colonne de droite résultent de ceux de la colonne de gauche, d'après la théorie des polaires réciproques.

On peut aussi considérer les théorèmes de la colonne de droite comme des corollaires du théorème de Brianchon, dans lequel on suppose certains angles égaux à deux droits, et les théorèmes de la colonne de gauche comme résultant alors de ceux de la colonne de droite, d'après la théorie des polaires réciproques.

C'est surtout à propos des coniques qu'on pourra voir toute la fécondité de cette belle méthode des polaires réciproques, due au général Poncelet. Toutefois, il faut remarquer que cette théorie, si utile comme méthode d'invention, puisqu'elle permet, suivant la piquante expression de Gcrgonne, de faire en quelque sorte de la Géométrie en partie double, a, comme tous les procédés de transformation, l'inconvénient de laisser ignorer comment la proposition que Ton découvre se rattache à une théorie, et comment on pourrait s'y prendre pour la démontrer directement. « En général, comme le remarque M. Chasles, il ne suffit pas qu'une proposition soit vraie pour qu'on puisse en faire un usage utile en Mathématiques, il faut encore connaître toutes ses dépendances avec les diverses propositions qui se rattachent au même sujet. »

350. Nous terminerons cet aperçu par quelques mois sur la transformation des propriétés métriques, c'est-à-dire des propriétés dans lesquelles on a égard non-seulement à la situation des lignes, mais encore à certaines relations numériques entre les angles ou les segments des diverses lignes de la figure.

D'abord, les propriétés métriques angulaires se transforment simplement par la théorie des polaires réciproques, au moyen du principe suivant :

Vangle de deux droites est égala Vangle des droites qui joignent leurs voles au centre du cercle directeur, car ces deux angles ont les côtés respectivement perpendiculaires.

.IVIlli in. — LKS FIGURES SEMBLABLES.

Comme exemple, transformons cette proposition si connue : Dans tout triangle ABC, les hauteurs ka^ Bè, Ce, se coupent au même point I.

Soient 0 le centre du cercle directeur, et A'B'C le triangle polaire réciproque de ABC, A' étant le pôle de BC, B' celui de CA et C celui de AB. Les trois hauteurs A«, B^, Ce, se coupant au même point I, leurs pôles a, 6, 7, doivent être sur une même droite, polaire de I. Or, le pôle a de A a doit se trouver d'une part sur B'C polaire de A, et de l'autre sur la perpendiculaire menée par 0 à la droite OA', puisque, en vertu du principe énoncé plus haut, l'angle aOA' doit être droit comme l'angle A«B des polaires A<2, BC, des points a et A'. On a donc ce théorème :

Si l'on joint un point fixe 0 ])ris arbitrairement dans le plan d'un triangle A'B'C aux trois sommets A', B', C, les perpendiculaires menées par ce point 0 aux trois droites OA', OB', OC, ainsi obtenues, vont couper respectivement les côtés opposés B'C, C'A', A'B', en trois points a, 6, 7, situés en ligne droite,

331. Quant aux relations segmentaires, on en transforme un assez grand nombre à l'aide des deux principes suivants :

1° Le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne droite

dans une figure est égal au rapport anharmonique du faisceau des quatre

droites correspondantes de la figure polaire réciproque, car ce faisceau

et celui qu'on obtient en joignant les quatre points au centre du cercle

directeur ont respectivement leurs angles égaux, d'après le principe du

AO 1° Le rapport -^ des distances de deux points quelconques k et ^ au

BO

AM

centre 0 du cercle directeur est égal au rapport -^ des distances de chacun de ces points à la polaire de Vautre [fig, 224). Car A'N étant la

Fig. 224.

polaire de A et B'M celle de B, menons AC perpendiculaire sur OB et BD perpendiculaire sur OA ; nous aurons, en désignant par R le rayon du cercle directeur,