SEMBLABLES

367. Pour étendre aux figures curvilignes la notion de la similitude, il faut prendre pour point de départ une propriété essentielle des polygones semblables qui soit immédiatement applicable aux courbes. Voici comment on parvient à faire cette généralisation :

1° Deux polygones semblables P et P' étant donnés dans un plan, on peut toujours amener le polygone P' à avoir ses côtés parallèles aux côtés homologues de P {Jig. aSo).

Deux cas peuvent se présenter, suivant que les deux polygones sont de même sens ou de sens opposés.

On dit que P et P' sont de même sens lorsque deux mobiles, astreints à décrire respectivement leurs contours ABCDE, A'B'C'D'E', en suivant l'ordre alphabétique, marchent tous les deux dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre ou tous les deux dans le sens opposé.

Fig. 23o,

Considérons alors deux côtés homologues quelconques CD et CD' et faisons tourner le polygone P' autour du point C d'un angle a égal à celui des deux côtés considérés; CD' deviendra parallèle à CD, puis, comme les angles CD'E', CDE sont égaux et que D'E' tombe par rap- R. et DE C. — Tr. de Gcom. (I" Partie). 17

GÉOMÉTRIIÎ PLANK.

port à CD' du môme côté que DE par rapport à CD, le côté' D'E' deviendra parallèle à DE, et ainsi de suite.

On dit que P et P' sont de sens opposés lorsque deux mobiles astreints à décrire leurs contours respectifs ABCDE, AiBiGiDiEi, en suivant l'ordre alphabétique, marchent l'un dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre et l'autre dans le sens contraire. Dans ce cas, en prenant le symétrique de AiBiCiDiEi autour d'un axe quelconque XY du plan, c'est-à-dire en rabattant ce polygone AiBiGiDiEi autour de cet axe, on obtiendra évidemment un second polygone A'B'G'D'E', qui présentera, relativement au polygone ABCDE, la même disposition que dans le premier cas. Un rabattement suivi d'une rotation amènera donc alors le polygone AiBiGiDiE» à avoir ses côtés parallèles à ceux de ABCDE.

2° On a vu que deux polygones semblables qui ont les côtés parallèles sont homothëtiques (361). Deux polygones semblables peuvent donc (1°) être rendus homothétiques ; et réciproquement, la figure homothétique d'un polygone est un polygone semblable au premier (358).

Par suite, pour qu'un polygone P' soit semblable à un autre polygone P, il faut et il suffit que ce polygone P' soit égal à l'un des homothétiques de P.

Voilà donc une propriété caractéristique des polygones semblables. D'ailleurs, la définition de l'homothétie est immédiatement applicable aux figures curvilignes (354). On est ainsi conduit à cette définition générale :

On dit qu'w/ze figure est semblable à une autre lorsqu'elle est égale à Vune des figures homothétiques de cette autre.

On comprend d'après cela pourquoi on donne, en général, les noms de centres de similitude^ à'axes de similitude et de rapport de similitude aux centres, aux axes et au rapport d'homothétie.

368. On nomme /?a/e double de deux figures F et F' semblables et de même sens le point du plan de ces deux figures qui est son propre homologue.

Il faut montrer qu'un tel point existe et qu'il est unique.

Bappelons d'abord qu'on appelle homologues deux points 0 et 0' tels, qu'on puisse les rattacher à deux côtés homologues AB et A'B' par deux triangles semblables AOB, A'O'B'; et alors (209), les triangles qui rattachent ces mêmes points à tout autre couple de côtés homologues sont par là môme semblables. Nous n'avons donc qu'à prendre à volonté deux côtés homologues AB et A'B' des polygones F et F', et à montrer qu'il existe un point 0, et un seul, tel que les triangles AOB et A'OB' soient semblables, c'est-à-dire que les angles lAO, lA'O soient égaux, ainsi que les angles IBO, IB'O, I désignant l'inlerseclion des