LIVRE III. — LES FIGUUES SEMBLABLES

droites AB, A'B'. Or l'égalité des deux premiers angles impose seulement au point 0 {fig. 23oi) la condition de se trouver sur le cercle circonscrit au triangle lAA'; l'égalité des deux autres angles indique à son tour, comme autre lieu géométrique du point 0, le cercle circonscrit au triangle IBB'. Ces deux Cercles, passant par I, ont un second point commun et un seul : c'est le point cherché 0.

On donne parfois à ce point double 0 le nom de centre de rotation des deux figures semblables F et F'. C'est qu'en effet il suffit de faire

Fig. 23o,.

louriler, d'un angle convenable, l'une des figures, F' par exemple, autour du point 0, pour rendre les deux fi<^ures liomothétiques, 0 étant lui-même le centre d'homotliétie. Cela résulte immédiatement de ce que les triangles OAB et OA'B', OAG et OA'C, . . ., étant semblables deux à deux, les côtés OA et OA', OB et OB', OC et OC, . . . sont proportionnels, et les angles AOA', BOB', COC, . . . sont égaux comme étant la somme ou la différence d'angles égaux.

Ainsi, on obtient la seconde figure A'B'C... en joignant le point double 0 aux divers points A, B, C, . . . de la première, puis en faisant tourner les rayons OA, OB, OC, . . ., d'un même angle V autour de 0, tandis qu'on augmente ou qu'on diminue les rayons dans un même rapport K.

D'ailleurs, puisque la rotation V amène toute droite BC de la figure F à être parallèle à son homologue B'C de la figure F', on voit que deux droites homologues quelconques BC, B'C, des deux figures font entre elles un angle égal à l'angle de rotation V.

Les triangles AOA', BOB', COC, . . . , ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables, et l'on peut dire encore qu'on obtient les divers points A', B', C, ... de la figure F', en construisant sur les droites OA, OB, OC, . . ., de la figure F des triangles semblables AOA', BOB', COC, ....

La construction donnée ci-dessus pour obtenir le point double de doux figures semblables est, en général, la plus simple ; mais on peut,

200 GËOMUTIUK PLAiNE.

dans certains cas, mettre à profit la propriété suivante : Le rapport det distances du point double à deux points homologues quelconques est égal au rapport de similitude des deux figures. Cette propriété est évidente, puisque les distances en question sont des droites homologues. Il en résulte que le cercle, lieu des points dont le rapport des distances à deux points homologues des deux figures est égal au rapport de similitude (187), passe par le point double.

Il convient encore de remarquer, en vue des applications, que, lorsque les points B et A' se confondent et, par suite, coïncident avec I {Jig. 23oi), les cercles lAA', IBB', dont le second point d'intersection est le point double, doivent être remplacés par le cercle qui, passant par A et I, touche IB', et par le cercle qui, passant par B' et I, touche AI.

Deux cercles sont deux figures semblables; mais leur point double n'est déterminé que si l'on indique le point A' du second cercle que l'on veut considérer comme l'homologue d'un point A choisi arbitrairement sur le premier cercle. Si le point A' homologue de A n'est pas donné, on ne connaît qu'un seul couple de points homologues, celui qui est formé par les centres G et G' des deux cercles; et le point double n'est astreint alors qu'à être situé sur le cercle, lieu des points dont le rapport des distances aux centres G et G' est égal au rapport des rayons, c'est-à-dire sur le cercle ayant pour diamètre la droite qui joint les centres de similitude des cercles proposés (187, 362).

Pour deux droites indéfinies, considérées comme des figures semblables, le point double n'est déterminé que si l'on donne sur ces droites deux couples A et A', B et B', de points homologues, auquel cas le point double est le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles lAA', IBB', I désignant le point commun aux deux droites proposées.

MÉTHODE DES FIGURES SEMBLABLES

369. Parmi les procédés généraux qui servent à la résolution des problèmes, il importe de signaler celui qui consiste à construire une figure semblable à la figure cherchée avec des éléments pris parmi les données; on passe ensuite de cette figure auxiliaire à la figure demandée, en comparant deux éléments homologues des deux figures.

Gette méthode, dite par similitude, est surtout avantageuse quand, parmi les données, ne se trouve qu'une seule longueur L, les autres données étant des rapports ou des angles. On fait alors abstraction do la longueur L, et l'on construit une figure cp présentant les angles et les rapports donnes. X étant le côté de cette figure auxiliaire qui correspond au côté L de la figure cherchée F, il suffit, pour avoir cette der-

LIVÎIK IIL

LI':S FIGURKS SK.UBLAHLES.

nièie, de construire (2j2), sur une droite égale à L et considérée comme homologue du côté X, une figure semblable à la figure cp.

On voit, sans autre explication, que ce procédé donnera immédiatement la solution de questions telles que celles-ci :

Construire un triangle, connaissant un angle, un côte' et le rapport des deux autres côtés, ou bien deux angles et la longueur d'une droite {hauteur, médiane, bissectrice, . . .) devant être déterminée dès que le trianîrle l'est.

Construire un carré, connaissant la différence enlre la diagonale et le côté ....

Voici un exemple un peu moins simple :

l'iil. 232.

Soit proposé de construire un triangle ABC dont on donne les trois hauteurs a, ê, ^ {fig. 231); «, h, c, étant les côtés du triangle inconnu, et BD et AE étant les hauteurs 6 et a, les triangles semblables CBD, CAE, donnent

On a de même

et, par suite,

cy.

On voit par là que si, d'un point pris à volonté, on mène à un cercle trois sécantes respectivement égales aux trois hauteurs données a, ê, y, les autres segments, comptes sur les mômes sécantes à partir de leur point commun, seront proportionnels aux côtés «, b, c du triangle demandé. On construira donc un triangle A'BC ayant pour côtés ces segments; ce triangle sera semblable au triangle cherché ABC et, pour avoir ce dernier triangle, il suffira de prendre sur la hauteur issue du sommet B une longueur BD = 6, puis de mener par le point B la parallèle AC à A' C.

Dans les questions que nous venons de traiter, la position absolue de

la ligure demandée demeure arbitraire; mais, dans un grand nombre de cas, la figure à construire doit, au contraire, avoir une position déterminée par rapport à des points ou à des droites données. C'est alors de l'une de ces conditions de situation qu'il faut faire abstraction, et la méthode s'appliquera encore si les figures satisfaisant à l'ensemble des autres conditions données sont semblables et semblablement placées. Citons, comme exemple, un problème déjà résolu d'une autre façon (263) : Par un point P situé à l'intérieur d'un an<j;le XSY, tracer un cercle G tangent aux deux côtés de l'angle. En faisant abstraction de la condition imposée au cercle de passer par le point P, on tracera un cercle quelconque 0 inscrit dans l'angle XSY. Ce cercle 0 et le cercle demandé C, dont nous désignerons les centres par w et y, auront le point S pour centre de similitude. La droite PS, par sa rencontre avec le cercle 0, donnera donc l'homologue Q du point P; et, comme les rayons wQ, CP doivent être parallèles (336), on aura le centre y du cercle inconnu, en prenant l'intersection de la droite Sw et de la parallèle menée par P à coQ.

Soit encore proposé ^'inscrire dans un triangle donné ABC un triangle dont les côtés soient parallèles à ceux d'un triangle donné de j

ifig. 232).

Si l'on trace dans le triangle ABC une parallèle d'f à df, puis par les points d' et/' des parallèles d' e\ f e\ à c?e et à e/, on formera un triangle d'f'e\ homothétique au triangle cherché DFE, et le point A sera pour ces triangles un centre de similitude directe (356). La droite Ae' coupera donc BC en un point E qui sera l'un des sommets du triangle demandé, et il ne restera plus qu'à mener par ce point E des parallèles ED et EF, à ed et à ef, et à joindre les points D et F.

370. A ce procédé s'en rattache un autre où l'on opère par renversement, c'est-à-dire qu'on renverse la question eij prenant les données pour inconnues, et réciproquement. En traitant ce nouveau problème, on obtient une figure égale ou semblable à la figure cherchée, et, pour avoir la figure demandée dans la position voulue, il suffit d'en connaître une seule ligne.

Reprenons, par exemple, le problème précédent. On commencera par circonscrire au triangle def un triangle abc ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux du triangle ABC. La figure ainsi formée sera semblable à la figure cherchée,^et il suffira de partager le côté AB dans le rapport de db à da pour avoir le sommet D du triangle demandé.

Voici un second exemple de cette méthode indirecte :

Inscrire dans un quadrilatère donné ABCD un quadrilatère a'b'c'd' semblable à un autre quadrilatère donné A'B'C'D' {fg. 233).

La méthode inverse sera ici évidemment préférable à la méthode directe,