SA.SK SA. SB SB.SG ' SH.SK

Si les points ne sont qu'au nombre de trois, A, B, C, on a

SËC - silû - soc »" AC.SB = AB.SC + BC.SA,

et l'on retombe sur le théorème de Ptolémée (240) relatif au produit des diagonales du quadrilatère inscrit.

La mélhodo de transformation par rayons vecteurs réciproques, proposée par M. Stubbs {PhUosophical Magazine, i843), appliquée ensuite par M. William Thomson sous le nom de principe des images^ a été l'objet d'un Mémoire de M. Liouville, qui en a donné une théorie analytique complète {Journal de Mathématiques, i*"* série, t. X[I). Depuis lors, la méthode a reçu un très grand nombre d'applications ; nous en trouverons dans le paragraphe suivant des exemples variés, mais nous devons signaler ici l'une des plus élégantes, due à M. Casey, et qui concerne la recherche de la condition pour que quatre cercles soient tangents à un cinquième.

399. A et B étant deux cercles quelconques, convenons de désigner par (AB) la longueur de leur tangente commune. Ce sera, suivant les circonstances, Ta tangente extérieure ou la tangente intérieure ; mais, dans tous les cas, il faudra attribuer à cette locution le sens indiqué au n* 395. Ceci entendu, le théorème de M. Casey s'énonce de cette manière :

Lorsque quatre cercles A, B, C, D, sont tangents à un cinquième cercle E, les longueurs de leurs tangentes communes satisfont à la relation

(ï) ( AB) (CD) ± (AG) (BD) ± (AD) (BC) = o.

Pour démontrer cette proposition, supposons, par exemple, que, des quatre cercles A, B, C, D, touchés par le cercle E, le premier A soit contenu dans E, et que les trois autres soient extérieurs à ce cercle. Convenons, en outre, de compléter la notation (AB), en aiïectant la parenthèse de l'indicée ou i, suivant qu'on voudra désigner la tangente commune extérieure ou intérieure. Ainsi, (AB)o sera la tangente commune extérieure aux cercles A et B, et(AB)i sera la tangente commune mtérieure.

Construisons la figure inverse du système, en prenant pour origine S un point quelconque du cercle E {fig. 246). Le cercle E deviendra une droite s qui touchera les cercles a, p, y, 5. inverses des cercles A, B, C, D, et qui laissera d'un côté le cercle a, et, de l'autre, les cercles p, Y, S. Or, en désignant par a, p, y» S> ^es points de contact de la droite s avec ces mômes cercles, on a, entre les segments compris