LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES

entre ces quatre points, la relation suivante, facile à vérifier :

a|3. yo — ay. po — ao. py == o.

En la divisant par le produit pp'p"p'" des rayons des quatre cercles a, , Y) ^5 et en adoptant la notation indiquée précédemment, on en déduit

pp' p"p"' pp" • p'p'" pp'" p'p"

Cette relation, en vertu du principe établi au n° 395, revient à

(^AEOi (Cp}o(AC)i (BD)o (AD)t (BC)o ^ KR' * inr RR" * R'R'" RR'" * R'R" '

R, R', R% R'", étant les rayons des cercles A, B, G, D.

Fig. 246.

La suppression du facteur commun R R' R' R'" donne finalement l'égalité

(AB), (GD)o- (AG)i (BD)o+ (AD)i (BG)o = o,

qui rentre bien dans le type (i).

CERCLES ISOGONAUX

400. Pour qu'une droite soit isogonale à deux cercles, c'est-à-dire coupe ces cercles sous le même angle, il faut et^l suffit qu'elle passe par l'un des centres de similitude.

La condition est nécessaire, car les tangentes aux quatre points

d'intersection d'une droite isogonale aux deux cercles sont parallèles deux à deux, et, par suite, les points de contact sont homologues. La condition est suffisante, puisque l'inversion conserve les angles.

^OO'. Tout cercle qui en coupe deux autres en deux points antihomologues est isogonal à ces deux-là.

Soit le cercle w qui coupe les deux cercles 0 et 0' aux points antihomologues A et B. Transformons la figure par inversion en prenant pour pôle le centre de similitude S des deux cercles donnés et pour module le module d'inversion des deux cercles 0 et 0', lequel est égal au produit SA. SB et est en même temps la puissance du point S par rapport à w. Les deux cercles 0 et 0' s'échangent et le cercle to se transforme en lui-môme. Comme la transformation conserve les angles, l'angle de œ avec G', qui remplace celui de w avec 0, doit donc lui ôlre égal.

Réciproquement^ quand un cercle est isogonal à deux cercles donnés, il les coupe en quatre points qui sont deux à deux antihomologues.

Soit le cercle œ isogonal aux deux cercles 0 et 0' qu'il coupe aux quatre points A, B, C, D. Joignons A, C et A, D, et supposons que la tangente en A au cercle 0 soit comprise dans le segment ADG et coupe l'arc AG en F. L'arc AF, moindre qu'une demi-circonférence, mesure le double de l'angle des deux cercles. Les tangentes en C et en D au cercle 0' couperont le cercle to en deux points G et H, tels que les arcs CG et DH, moindres qu'une demi-circonférence, soient égaux à l'arc AF; ces arcs sont, du reste, dirigés en sens inverse à partir de C et D. Je considère celui qui est dirigé en sens inverse de AF, soit DH. De l'égalité des arcs AF et DH résulte celle des arcs AH et DF, qui montre que les deux tangentes AF et DH coupent la droite AD sous un môme angle. Donc la droite AD isogonale aux deux cercles doit passer par l'un des centres de similitude (n** 400), et, comme les tangentes en A et D aux cercles 0 et 0' ne sont pas parallèles, ces points A et D sont anlihomologues.

D'après cela, tous les cercles isogonaux a deux cercles donnés se répartissent en deux groupes tels que, par rapport à tous les cercla d'un même groupe, l'un des centres de similitude a la même puissance escale au module d'inversion des deux cercles' relativement au centre de similitude considéré, et

Réciproquement, tout cercle tel que la puissance d un des centres de similitude de deux cercles donnes par rapport à lui est égale au module d'inversion des deux cercles donne's relativement au centre de similitude considéré est isogonal aux deux cercles fixes.

Ces propositions permettent de généraliser la notion des cercles iso-