LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES

gonaux et de faire rentrer sous cette dénomination des cercles qui ne coupent pas les deux cercles donnés, pourvu que le centre de similitude ait par rapport à eux la puissance convenable.

Il est facile de reconnaître que les cercles isogonaux formant le groupe qui correspond au centre de similitude directe sont ceux qui coupent les deux cercles fixes de telle manière que les angles formés par les tangentes menées en l'un des points d'intersection, du cote de l'intérieur, sont égaux, tandis que ceux qui forment le groupe correspondant au centre de similitude inverse sont tels que les angles ainsi définis sont supplémentaires.

Les cercles orthogonaux aux deux cercles fixes appartiennent aux deux groupes à la fois, et les quatre points d'intersection sont deux à deux antihomologues par rapport aux deux centres de similitude.

400*. Les cercles isogonaux à trois cercles donnés se répartissent en quatre faisceaux tels que tous les cercles d'un même faisceau ont pour axe radical commun l'un des axes de similitude des trois cercles donnés.

En effet, considérons les cercles isogonaux aux cercles 0 et 0' et correspondant à un centre de similitude S", puis, parmi ceux-ci, ceux qui coupent le cercle 0" sous le même angle que les cercles 0 et 0'. Ils peuvent se répartir en deux familles, suivant qu'ils correspondent à l'un ou l'autre des centres de similitude des cercles 0 et 0"; si nous considérons seulement ceux qui correspondent au centre de similitude S, on voit que les points S et S" auront la même puissance par rapport à tous ces cercles. Par conséquent, l'axe de similitude SS" est l'axe radical commun de tous ces cercles ; en faisant varier les centres de similitude, on trouve les quatre faisceaux correspondant aux quatre axes de similitude.

Réciproquement, tous les cercles d'un des quatre faisceaux défirds dans l'énoncé sont isogonaux aux trois cercles donnés.

En eff'et, la puissance par rapport à chacun d'eux de chacun des centres de similitude S et S" situés sur l'axe considéré étant égale au module d'inversion de deux cercles correspondant à ce centre de similitude, il suit du corollaire du théorème III que le cercle considéré coupe sous un même angle les cercles 0 et 0' et les cercles 0 et 0".

Le faisceau des cercles qui admettent pour axe radical commun l'axe de similitude SS' est tel que le centre de similitude S, en ligne droite avec les premiers, a la même puissance par rapport à tous les cercles du faisceau. Ainsi les trois centres de similitude qui correspondent à un cercle isogonal sont toujours trois centres en ligne droite. On arriverait à la môme conclusion par l'application de la remarque II du théo-

rème III. Le cercle orthogonal aux trois cercles fixes appartient aux quatre faisceaux à la fois.

Si le cercle orthogonal aux trois cercles donnés est réel, on voit immédiatement que le lieu des centres des cercles isogonaux d'un même faisceau, devant contenir le centre du cercle orthogonal, sera la perpendiculaire abaissée du centre radical sur l'axe de similitude. Dans le cas général, on arrive à la même conclusion en transformant la figure par inversion avec le centre radical pour pôle, et pour module la puissance commune de ce centre par rapport aux trois cercles donnés. Alors ceux-ci se reproduisent de telle sorte que deux points antiiiomologues par rapport à un centre de similitude, se transforment en deux autres points antihomologues par rapport au même centre. Il faudra donc que les cercles isogonaux d'un même faisceau se transforment les uns dans les autres, ce qui exige que leurs centres soient alignés sur le pôle d'inversion qui est le centre radical.

Ainsi, dans tous les cas, le lieu des centres des cercles isogonaux d'un même faisceau est la, perpendiculaire abaissée du centre radical des trois cercles donnés sur l'axe de similitude correspondant.

Il résulte de ce qui précède que les cercles isogonaux d'un même faisceau se répartissent en groupes de deux, qui admettent pour centre de similitude le centre radical des trois cercles donnés et qui coupent ceux-ci sous le même angle.

Si les trois cercles ont un centre de similitude commun, trois centres de similitude se confondent en ce point ; l'axe de similitude correspondant est indéterminé, et le faisceau des cercles isogonaux correspondant à cet axe se réduit aux droites passant par le centre de similitude, car les points antihomologues sur les trois cercles sont nécessairement alignés sur ce centre.

400". Tous les cercles isogonaux à trois cercles fixes, qui appartiennent à un même faisceau, coupent l'un quelconque des cercles fixes suivant des droites qui concourent en un même point de l'axe de similitude correspondant.

En effet, soit un cercle isogonal w qui coupe le cercle 0 suivant une droite MN, laquelle rencontre l'axe de similitude correspondant en H. Le point H a la môme puissance par rapport aux cercles 0 et w, et quand on fait varier le cercle ^^i, il conserve la même puissance par rapport à ce cercle, puisqu'il appartient à l'axe radical commun des cercles to. Donc il fait partie de l'axe radical, c'est-à-dire de la sécante commune à tout cercle w et au cercle 0.