LIVRE III. — LES FIGURES SL'MBLLBLES

trois points de contact A, A', A' sont deux à deux antihomologues, puis on construira trois points x\l, M', M*, M' et M" étant respectivement antihomologues de M sur 0' et 0". On remarquera alors que, si l'on fait varier le point M, le cercle M M' M" conserve la même puissance par rapport aux points S et S", de sorte que tous les cercles M, M', M" onf le même axe radical S' S*. Il en résulte que la sécante commune MN a/i cercle variable MM'M" et au cercle fixe 0 passe par un point fixe H de l'axe de similitude, par lequel doit aussi passer la tangente en A commune à 0 et w. On retrouve ainsi la construction indiquée. Pour démontrer que le cercle to, passant par A, A', A", est bien tangent aux trois cercles donnés, on remarque que l'axe radical de w et 0 étant AH, w est tangent à 0 en H. Alors, comme (o passe par A' antihomologue de A, il est aussi tangent à 0' en A', et enfin il est tangent à A" pour une raison analogue.

Si un ou plusieurs centres de similitude sont en dehors des limites de l'épure, on peut néanmoins construire les points M', M"; il suffit de mener à 0' un rayon parallèle au rayon OM et de joindre le point M à l'extrémité de ce rayon ; la droite MP coupe le cercle 0' en un second point M' qui est antihomologue de M. Jl faut seulement faire attention au sens des rayons OM et O'P', suivant qu'on considère le centre de similitude direct ou inverse.

Si l'axe de similitude, ou simplement le point H, est en dehors des limites de l'épure, on pourra y suppléer de la manière suivante : on cherchera deux groupes de points antihomologues MM'M", MiM'iM'i. Les deux cercles isogonaux ainsi déterminés coupent le cercle 0 suivant des cordes MN, MiNi; on joindra MMi et NNi qui se couperont en Q, MNi et MiN qui se couperont en R. La droite QR sera la polaire du point H où se coupent MN et MiNi et, par suite, son intersection avec le cercle 0 déterminera les deux points de contact A et B.

Si l'on considère les deux cercles to et w' fournis par un même axe de similitude, lesquels touchent les cercles donnés en AA'A" et BB'B", on peut remarquer que AB, qui est la polaire de H par rapport au cercle 0, contient le pôle de l'axe de similitude par rapport au même cercle. De plus, les cercles w et w' correspondant au même axe de similitude sont ceux qui se déduisent l'un de l'autre par une inversion effectuée du centre radical G des trois cercles donnés comme pôle. Il en résulte que les cordes AB, A'B', A"B' vont concourir au centre radical G. On retrouve ainsi la construction de Gergonne, qui consiste à joindre le centre radical des trois cercles donnés aux pôles de l'axe de similitude par rapport aux trois cercles donnés.

éi le cercle isogonal MM'M" coupe l'axe de similitude en deux points réels L et L', tous les cercles isogonaux du mémo faisceau passeront

par ces deux points, et l'on sera ramoné à faire passer par ces deux points un cercle tangent à l'un des cercles donnés. Mais, comme il est aisé de le reconnaître, le tracé de ce cercle, par la méthode classique, reproduit exactement notre construction générale.

Si les trois cercles ont un centre de similitude commun, l'axe de similitude correspondant est indéterminé, et la méthode ne s'applique plus; mais alors il est clair que les solutions correspondant à ce centre de similitude sont les tangentes communes aux trois cercles.

401'. Application de la méthode aux cas particuliers.

La méthode n'offre aucune simplification dans le cas de deux cercles et d'une droite.

Dans le cas de deux droites et d'un cercle, la construction générale s'applique, mais elle donne un tracé plus compliqué que celui de la méthode de Gergonne qui consiste, dans ce cas, à circonscrire au cercle un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux droites données et à joindre les sommets de ce parallélogramme au point d'intersection des deux droites. Mais la méthode de Gergonne cesse d'être applicable si les deux droites sont parallèles. Soient PQ, P'Q' les deux droites parallèles et le cercle 0. Les centres de similitude sont en S et S' aux extrémités du diamètre perpendiculaire aux deux droites. On peut prendre un de ces deux points S pour centre de similitude commun de 0 avec PQ et avec P'Q'. Alors toute droite passât par S sera isogonale aux trois lignes données ; comme elle rencontre l'axe de similitude en S, S^ sera un point de contact. Ainsi, on trouve déjà les deux tangentes en S et S' qui doivent être considérées comme des solutions singulières, car, dans la transformation par inversion, elles deviennent des circonférences tangentes à 0 et aux deux circonférences transformées de PQ et de P'Q' en leur point de contact, qui est le pôle d'inversion. Si l'on prend des centres de similitude différents, S et S', soit M un point arbitraire de la circonférence 0, joignons SM et S'M qui coupent respectivement les droites P'Q', PQ, en M', M'^ et M'i, M". Les points antihomologues de M sont M', M"' ou Mi^ W[, suivant l'attribution qu'on fera des centres de similitude S et S' aux deux droites données. Les cercles circonscrits aux deux triangles MM'M", MM'iM'i fourniront, d'après la construction générale, quatre solutions nouvelles.

La discussion, quoique un peu longue, est très aisée :

1° Si le cercle 0 est entre les deux parallèles, et si M' et M" sont sur les prolongements de SM et S'M, les points S et S' étant en dehors de la circonférence MM'M", il est impossible que celle-là passe entre S et S', de sorte que son second point d'intersection N avec 0 est nécessairement de môme côté que M, et la corde MN coupe SS' en un point U