LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 3oi

^ué en dehors de 0 et duquel on peut mener des tangentes au cercle 0. Par un raisonnement analogue, on arrive à une même conclusion pour le cercle MM'^ M'[ qui contient S et S' à son intérieur. Les quatre cercles tangents sont donc réels.

2" Si le cercle 0 coupe l'une des trois droites, on reconnaît, par un raisonnement analogue, que l'un des cercles auxiliaires MM'M* qui laisse S et S' à son extérieur, donne deux solutions, tandis que l'autre, MM'iMi, passe entre S et S' et ne donne aucune solution réelle. Donc il y a deux cercles tangents.

l 3° Si le cercle 0 est en dehors des deux parallèles, le môme raisonnement montre qu'il n'y a pas de cercle tangent, ce qui est du reste évivident a priori. Il n'y a pas d'autre solution, que les deux droites.

4° Il est aisé de reconnaître que, dans les cas de deux cercles et un

point, d'un cercle, une droite et un point, d'un cercle et deux points,

la construction générale reproduit la construction habituelle de ces

problèmes simples, les points donnés constituant des cciUres de simi"

Jitude.

401". Étant donnés trois cercles extérieurs deux à deux, on peut leur mener huit cercles tangents réels dont deux au plus peuvent se réduire à deux droites.

Pour qu'un axe de similitude fournisse deux solutions réelles, il faut et il suffit que le point H situé sur cet axe {fig. 247) soit à l'extérieur du cercle 0, ou, ce qui revient au même, à l'extérieur du segment MN, ou encore que Taxe de similitude ne traverse pas MN. Or l'axe ne peut traverser le segment MN sans traverser en même temps l'arc MN du cercle MM'M" situé à l'intérieur de 0 et réciproquement. Donc, pour qu'un axe de similitude donne deux solutions réelles, il faut et il suffit que le cercle isogonal MM'M" ne coupe pas l'axe de similitude correspondant, ou le coupe en deux points situés d'un même côté du cercle 0.

Il résulte de cette condition que si le cercle MM'M" coupe l'axe de similitude à l'intérieur de l'un des cercles donnés en un point unique, il le coupera aussi à l'intérieur des deux autres cercles, car 0 est l'un quelconque des trois cercles donnés, et la solution ne peut être à la fois réelle et imaginaire. Mais le cercle MM'M" ne coupe l'axe qu'en deux points. Si donc cet axe ne donne aucune solution réelle, il faut que l'un au moins des deux points d'intersection soit inférieur à la fois à deux des cercles donnés au moins, ce qui exige que ces deux cercles-là aient une région commune. Or cela ne peut arriver si les trois cercles donnés sont extérieurs. Donc, dans ce cas, toutes les solutions sont réelles. Il peut arriver que les trois cercles aient deux tangentes communes, mais ils ne sauraient en avoir trois.

302 GÉ03IÉTRIE PLANE.

401'". Discussion générale.

1° Si les circonférences n'ont aucun point commun, il peut y avoir :

a. Trois couples extérieurs : il y a huit solutions réelles.

p. Un couple intérieur et deux extérieurs, c'est-à-dire deux cercles intérieurs et le troisième extérieur à ces deux-là. Le problème est manifestement impossible.

Y. Deux couples intérieurs et le troisième extérieur, c'est-à-dire que deux des circonférences données sont à l'intérieur de la troisième et extérieures entre elles.

Dans ce cas, en prenant pour pôle d'inversion au point P, situé à l'intérieur de la grande circonférence et à l'extérieur des petites, et pour module la puissance de ce point par rapport à la grande circonférence, on transforme les trois cercles en trois cercles extérieurs. En effet, soit une droite tirée de P qui coupe la grande circonférence en A et B, et l'une des petites en C et D. La grande circonférence se transforme en elle-même; comme PC et PD sont tous deux plus petits que PB, les distances inverses PC et PD' seront plus grandes que PA, et les deux points G' et D' seront au delà de A.

Il en résulte que le problème admet huit solutions réelles. Aucune ne peut se réduire à une droite.

8. Trois couples intérieurs. Le problème est manifestement impossible.

2° Si deux des circonférences se coupent on les transformera en droites en prenant pour pôle d'inversion l'un de leurs points d'intersection. Donc, d'après une discussion rappelée plus haut, il y aura huit solutions réelles, si le troisième cercle coupe les deux premiers sans passer par l'un des points d'intersection, ou quatre seulement, si le troisième cercle coupe un seul de ces deux-là, ou n'en coupe aucun, ou passe par l'un de leur point d'intersection. Dans ce dernier cas, le point de concours des trois circonférences doit être considéré comme un cercle de rayon nul formant une solution quadruple. Il y a des solutions doubles s'il y a des cercles tangents. Enfin, si les trois cercles passent par deux mêmes points, ils se transforment en trois droites concourantes et le problème est impossible, ou du moins il n'admet d'autres solutions que les deux points communs qui constituent deux solutions quadruples de rayon nul.

3° S'il y a deux cercles tangents, le troisième ne coupant pas les deux premiers, on transformera les deux cercles tangents en deux droites parallèles en prenant le point de contact pour pôle, et l'on trouve aisément, en tenant compte des deux solutions rectilignes qui donnent des cercles dans la transformation inverse. Il y a six solutions réelles si, les cercles étant tangents extérieurement, le troisième leur est extérieur, ou si, étant tanaents intérieurement, le troisième est

LivRK III. — LKS Figures semblables.

inférieur au grand et extérieur au petit; quatre solutions réelles dans tous les autres cas. Les solutions qui passent par le point de contact doivent être considérées comme doubles. Il y a d'autres solutions doubles, si le troisième cercle est tangent à l'un des deux autres ou à tous les deux.

4" Si enfin les trois cercles sont tangents au même point, le problème est indéterminé.

402. Il importe de signaler encore, à propos du problème d'Apollonius, quelques relations remarquables qui résultent immédiatement du théorème de M. Gasey (399).

i°En supposant que le cercle D se réduise à son point de contact, et en désignant par /, /', /', les longueurs des tangentes menées de ce point aux trois cercles A, B, G, on voit que, si un cercle E touche trois cercles donnés, A, B, G, les tangentes menées d'un point quelconque de ce cercle aux trois cercles donne's satisfont à la relation

/"(AB) ± l'{AC) ± /(BG) = q.

2" Enfin, si l'on se reporte à la figure formée par un triangle quelconque, le cercle inscrit D et les trois cercles exinscrits A, B, G, et si l'on applique le théorème de M. Gasey à ces quatre cercles considérés successivement comme tangents aux trois côtés du triangle, on obtient les trois relations

-(AB)i(GD)o+(AG)i(BD)o-(AD)i(BC)o=o,

(AB)i(GD)o4-(AG)o(BD)i-(AD)o(BC)i = o,

-(AB)o(GD)i-^(AG),(BD)o4-(AD)o(BG)i = o,

qui, ajoutées membre à membre, donnent

(AB)o(GD),-(AG)o(BD)i-f-(AD)i(BG)o=o.

Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits à un triangle quelconque sont donc tangents à un cinquième cercle, qui laisse le cercle inscrit d'un côté et les trois cercles exinscrits de l'autre côté.

[Ce théorème est dû à Feuerbach : nous le retrouverons plus loin (40i).]

Le môme procédé conduit d'ailleurs à ce théorème plus général dû à M. Hart :

Les cercles tangents à trois cercles donnés sont, quatre à quatre, tangents à un cinquième cercle.

GÉOMÉTRIE PlàNE.